Réaliser une expérience à deux étapes

Énoncé

• Une urne contient 6 boules de couleur rouge, 4 de couleur noire et 3 boules de couleur bleue.
Une seconde urne contient 2 de couleur verte et 5 de couleur jaune.
On ne peut pas différencier les boules.

• On tire une boule dans la première urne puis une boule dans la seconde urne, le tirage dans la seconde urne est indépendant du tirage réalisé dans la première.
On note :

R l'événement « obtenir une boule rouge » ;
N l'événement « obtenir une boule noire » ;
B l'événement « obtenir une boule bleue » ;
V l'événement « obtenir une boule verte » ;
J l'événement « obtenir une boule jaune ».

Calcul des probabilités

• Les calculs de probabilité dans la première urne donnent :

p(R) = $\frac{6}{13}$ ;
p(N) = $\frac{4}{13}$ ;
p(B) = $\frac{3}{13}$ .

• Les calculs de probabilité dans la seconde urne donnent :

p(V) = $\frac{2}{7}$ ;
p(J) = $\frac{5}{7}$ .

• Voici l'arbre pondéré décrivant la situation :

Au bout de chaque branche, on trouve l'événement associé au tirage des deux urnes.
On a ainsi toutes les possibilités : une boule rouge et une boule verte, une boule rouge et une boule jaune, etc.

• Pour calculer la probabilité de l'événement « obtenir une boule noire et une boule verte », on peut se « promener » dans l'arbre. On obtient : $\frac{4}{13}$ × $\frac{2}{7}$ = $\frac{8}{91}$ .

• On applique la règle suivante :
Dans un arbre, la probabilité de l'issue auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long du chemin.