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Formule de Laplace
Si les résultats de l'expérience ont la même « chance » d'aboutir (c'est-à-dire dans une situation d'équiprobabilité), alors la probabilité d'un événement A est noté p(A) et correspond au rapport :
p(A) = \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}
Exemple
• Énoncé
On jette un dé équilibré à six faces, on regarde la face supérieure du dé.
Quelle est la probabilité d'obtenir un numéro pair ?
• Solution
On dit dans l'énoncé que le dé est équilibré, donc on est dans une situation d'équiprobabilité.
On note A l'événement « Obtenir un numéro pair ».
Le nombre d'issues favorables est égal à 3 (lorsque la face supérieure indique les numéros 2, 4 ou 6).
Le nombre d'issues possibles est égal à 6 (puisque l'on a six faces).
D'après la formule de Laplace, on a :
p(A) = \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
Donc on a une chance sur deux d'obtenir un numéro pair en jetant un dé équilibré.
On dit aussi que la probabilité est égale à 0,5, ou encore à 50 %.
Cas particuliers
Considérons un événement A.
Lorsque p(A) = 0, alors l'événement est dit impossible.
Lorsque p(A) = 1, alors l'événement est dit certain.
• On lance une pièce et on considère l'événement A : « la pièce tombe sur la tranche ».
L'issue « tomber sur la tranche » ne fait pas partie des issues possibles. Donc p(A) = 0 et l'événement A est impossible.
• On lance un dé l'événement B : « la face supérieure du dé est un nombre inférieur ou égal à 6 ».
Toutes les issues possibles sont des issues favorables à l'événement YB. On a donc p(Y) = 1 et l'événement B est certain.
Propriétés
Si A est un événement d'une expérience aléatoire, on a 0 inférieur ou égal p(A) inférieur ou égal 1.
La somme de tous les événements élémentaires constitués à partir des issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.
Exemple
Lorsqu'on lance une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir « pile » est égale à 0,5 (1 chance sur 2).
La probabilité d'obtenir « face » est aussi égale à 0,5.
La somme des probabilités est égale à 1.
Événement contraire
Soit A un événement. On note \bar{A} (lire A « barre ») l'événement contraire de A.
On a : p(A) + p(\bar{A}) = 1
Exemple
On lance un dé, considérons l'événement B : « la face supérieure du dé est 1 ».
L'événement contraire \bar{B} de B est « la face supérieure du dé est différente de 1 ».
On a p(B) = \frac{1}{6}. Donc p(\bar{B}) = 1 − \frac{1}{6} = \frac{6}{6} − \frac{1}{6} = \frac{5}{6}.
Il y a bien 5 issues favorables : tous les nombres 2, 3, 5, 5, 6 parmi les 6 issues possibles.
La probabilité de l'événement « la face supérieure du dé est différente de » est égale à 5/6.
(On peut dire aussi que l'on a 5 chances sur 6 d'obtenir un numéro différent de 1 en lançant un dé équilibré).
Exercice n°1
On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes, chaque carte ayant la même probabilité d'être choisie.
1. La probabilité que la carte tirée soit le roi de cœur est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{1}{32}.
\frac{1}{4}.
\frac{5}{8}.
2. La probabilité que la carte tirée soit un trèfle est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{1}{32}.
\frac{1}{4}.
\frac{5}{8}.
3. La probabilité que la carte tirée soit rouge est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{1}{32}.
\frac{1}{4}.
\frac{1}{2}.
4. La probabilité que la carte tirée soit noire ou rouge est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{1}{32}.
1.
\frac{1}{2}.
5. La probabilité que la carte tirée soit noire et rouge est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{1}{32}.
1.
0.
1. On est dans une situation d'équiprobabilité puisque toutes les cartes ont la même probabilité d'être choisies.
Il y a qu'un seul roi de cœur dans un jeu de 32 cartes.
Le nombre d'issues favorables est donc égal à 1 et le nombre total d'issues possibles est égal à 32.
En appliquant la formule \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}, on trouve 132.
2. On est dans une situation d'équiprobabilité.
Il y 8 trèfles dans un jeu de 32 cartes.
Le nombre d'issues favorables est donc égal à 8 et le nombre total d'issues possibles est égal à 32.
En appliquant la formule \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}, on trouve \frac{8}{32} = \frac{1 \times 8}{1 \times 8} = \frac{1}{4}.
3. On est dans une situation d'équiprobabilité.
Il y 16 cartes rouges (les cœurs et les carreaux) dans un jeu de 32 cartes.
Le nombre d'issues favorables est donc égal à 16 et le nombre total d'issues possibles est égal à 32.
En appliquant la formule \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}, on trouve \frac{16}{32} = \frac{1 \times 16}{2 \times 16} = \frac{1}{2}.
(On peut trouver ce résultat plus rapidement en disant que la moitié des cartes sont rouges. On a donc une chance sur deux d'obtenir une carte rouge en tirant une carte au hasard.)
4. Dans un jeu de 32 cartes, les cartes sont soit rouges, soit noires.
Le nombre d'issues favorables est donc égal à 32 et le nombre total d'issues possibles est égal à 32.
En appliquant la formule \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}, on trouve \frac{32}{32} = 1.
L'événement « choisir une carte noire ou une carte rouge » est donc un événement certain.
5. Dans un jeu de 32 cartes, les cartes sont soit rouges soit noires, il n'y a pas de carte avec les deux couleurs.
Le nombre d'issues favorables est donc égal à 0 et le nombre total d'issues possibles est égal à 32.
En appliquant la formule \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}, on trouve \frac{0}{32} = 0.
L'événement « choisir une carte noire et une carte rouge » est donc un événement impossible.
Exercice n°2
Une urne contient : 7 boules de couleur noire, 8 boules de couleur blanche, 8 boules de couleur rouge, 7 boules de couleur jaune, indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de cette urne.
1. La probabilité de tirer une boule de couleur noire est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{7}{30}.
\frac{1}{30}.
\frac{23}{30}.
2. La probabilité de ne pas tirer une boule noire est égale à :
Cochez la bonne réponse.
\frac{7}{30}.
\frac{1}{30}.
\frac{23}{30}.
1. On est dans une situation d'équiprobabilité car les boules sont indiscernables au toucher.
On a 7 boules noires dans l'urne, donc le nombre d'issues favorables est égal à 7.
Il y a 30 boules dans l'urne, donc le nombre d'issues possibles est égal à 30.
En appliquant la formule \frac{Nombre\,d'issues\,favorables}{Nombres\,d'issues\,possibles}, on trouve \frac{7}{30}.
2. D'après la question précédente, on sait que la probabilité de tirer une boule noire est égale à \frac{7}{30}.
de plus on sait que la somme de la probabilité d'un événement et de la probabilité de l'événement contraire est égale à 1.
Donc la probabilité de ne pas tirer une boule noire est égale à \frac{23}{30}.
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