Fiche méthodologique

• Une proportion exprime la part que représente un élément dans un ensemble. Par exemple, dans une classe de seconde où l'on dénombre 18 filles sur un total de 30 élèves, les filles représentent une proportion de 18/30 soit, en simplifiant la fraction (division des deux termes par 6) une proportion de 3/5.

• Une proportion peut aussi s'exprimer par un pourcentage (%). On transforme alors la proportion en l'exprimant, par convention, sur un ensemble de 100. Il suffit d'effectuer la division et de multiplier le résultat par 100 : ici, 3/5 × 100 = 60 %.

• Dans un ensemble où il n'y a que 2 types d'éléments, le pourcentage des seconds se déduit facilement du pourcentage des premiers : les garçons, dans cette classe, représentent  100 −60 = 40 %.

• Dans un ensemble à plus de 2 types d'éléments, la méthode de calcul est identique pour chaque type (proportion × 100), la somme des pourcentages étant évidemment égale à 100. On obtient alors l'ensemble des pourcentages de répartition.
Exercice n°1

• Pour mesurer l'évolution d'une quantité au cours du temps, par exemple d'un salaire d'année en année, on peut calculer la variation absolue ou la variation relative de cette quantité.
La variation absolue, dans notre exemple, est le nombre d'euros en plus (ou en moins !) perçus entre deux 1^er janvier. Un technicien supérieur en informatique qui gagnait 2 666 € par mois au 1^er janvier 2018 et en gagne 2 791 au 1^er janvier 2019 a vu son salaire augmenter de 125 €. La variation relative permet de rapporter cette variation absolue à ce qu'était son salaire en début de période. Elle s'exprimera par un pourcentage (ou taux) de variation, calculé donc par rapport à 100. La formule générale est :

Dans notre exemple, ce technicien a vu son salaire augmenter de 4,69 % entre les deux dates ([2 791 − 2 666]/2 666 − 100). Un taux de variation peut être négatif, si la variable étudiée a baissé dans l'intervalle de temps. Quand il est positif, on utilise fréquemment l'expression « taux d'accroissement ».

• Lorsqu'une quantité augmente sur plusieurs périodes, par exemple le prix d'un produit, on peut être tenté d'additionner les taux de variation successifs pour obtenir le taux de variation global. Ce procédé est une grave erreur ! Supposons que le prix d'une voiture augmente, une première année de 12 % et de 9 % une seconde année : sur les deux ans, il est faux de dire que le prix a augmenté de 21 % (12 + 9). La 2^e hausse porte en effet sur le prix de départ, lui-même augmenté de 12 %.

• La bonne méthode consiste à calculer les deux variations soit en les enchaînant, soit en utilisant les coefficients multiplicateurs.

• 1^re solution : le calcul en chaîne. Supposons que le prix de départ soit de 9 000 €. La première hausse le porte à 10 080 € (9 000 + 12 % de 9 000). La deuxième hausse le porte à 10 987,20 € (10 080 + 9 % de 10 080). Au total, le taux de variation du prix sur les deux années est donc de :
%

• 2^e solution : les coefficients multiplicateurs. Calculer un coefficient multiplicateur consiste à diviser la valeur d'arrivée d'une variable par sa valeur de départ. Par exemple, si le prix d'un produit passe de 150 € à 165 €, son coefficient multiplicateur est de 165/150 = 1,1, ce qui revient à dire qu'il a augmenté de 10 %. S'il augmente de 20 %, son coefficient multiplicateur est de 1,2, etc. Le tableau ci-dessous donne quelques correspondances entre taux d'accroissement et coefficients multiplicateurs.

Taux d'accroissement	+ 1 %	+ 1,5 %	+ 10 %	+ 50 %	+ 58,7 %	+ 90 %	+ 100 %	+ 200 %
Coefficient multiplicateur	1,01	1,015	1,1	1,5	1,587	1,9	2	3

• Dans l'exemple de la voiture, on peut obtenir le résultat final en effectuant le calcul suivant : 9 000 × 1,12 × 1,09 = 10 987,20. Le prix de départ a bien été multiplié par 1,12 puis 1,09 (1,12 × 1,09), donc par 1,2208, ce qui correspond à un taux de variation sur les deux années de + 22,08 %.
Exercice n°2Exercice n°3

• Une série statistique de production, de population, de prix. se présente toujours avec une unité de mesure (tonne, euro ou dollar, nombre de personnes, etc.). Les statisticiens transforment souvent ces unités en indices, ce qui facilite leur lecture et la comparaison des évolutions.

• Si une population passe de 23,5 millions à 27,8 millions d'habitants, on peut présenter cette évolution en attribuant à la valeur de départ l'indice 100 et en recalculant l'indice d'arrivée. Pour cela, on utilise la formule suivante :

Ici, par exemple, en partant de l'indice 100, la population atteint, en fin de période, l'indice [27,8/23,5] × 100 = 118,29. Cela revient à dire qu'elle a augmenté de 18,29 %, ou encore qu'elle a été multipliée par 1,1829. L'intérêt de cette mise en indices est de permettre des comparaisons plus faciles.

• Prenons l'exemple de deux produits dont les prix ont évolué comme suit :

	2017	2018	2019
Produit A	1,80 €	1,96 €	2,03 €
Produit B	47 €	49 €	53 €

• Après mise en indices, le tableau devient le suivant :

	2017	2018	2019
Produit A	100	108,8	112,7
Produit B	100	104,2	112,7

Attention ! Un indice n'a pas d'unités. Il sert simplement à comparer des évolutions ou des niveaux. Ici, on observe que, si le produit A a vu son prix s'accroître davantage la 1^re année, la 2^e année a conduit à un rattrapage de l'évolution pour le produit B, puisque les prix terminent au même indice.

La moyenne et la médiane sont deux indicateurs qui facilitent l'analyse des séries statistiques.

• On voit ici que le revenu médian est de 2 600 euros mensuels : la moitié des salariés de cette entreprise gagne au plus cette somme, alors que l'autre moitié se situe au-dessus. On peut illustrer l'indicateur de la médiane par les deux valeurs suivantes :

• En France, selon l'Insee, le salaire médian en équivalent temps plein s'élevait à 1 797 euros par mois en 2015.
• L'âge médian de la population française, en 2019, est de 40,8 ans. La moitié des Français ont moins de 40,8 ans, l'autre moitié est au-dessus de cet âge.

Exercice n°4

• Les économistes utilisent souvent des indices synthétiques, qui permettent de rendre compte de l'évolution de variables ou de phénomènes composites, comportant de nombreux éléments. L'indice synthétique le plus connu du grand public est celui qui est calculé, chaque mois par l'Insee, pour retracer l'évolution des prix. La consommation des ménages concerne, en effet, un très grand nombre de biens et de services et il est impossible de prendre en compte l'évolution des prix de tous les biens disponibles. L'Insee calcule donc un indice synthétique qui reflète l'évolution globale des prix.

• Pour construire cet indice, l'Insee classe les biens et services consommés par les ménages en grandes catégories (postes budgétaires), par exemple les dépenses liées à l'alimentation, au logement, à l'habillement, à la santé, aux loisirs et à la culture, etc., et calcule, pour chaque poste, le pourcentage qu'il représente dans le budget des ménages, c'est-à-dire son coefficient budgétaire. Par exemple, en 2018, l'alimentation à domicile absorbe, en moyenne, 13,3 % du budget des ménages (hors dépenses de restauration). De même, le coefficient budgétaire du logement est estimé à 23,3 %, celui de la santé à 4,2 %, et celui des loisirs à 8,3 %, etc. Le total des coefficients budgétaires est évidemment égal à 100.

• L'Insee relève, chaque mois, des milliers de prix dans ces différentes catégories. Pour chaque catégorie, elle calcule l'évolution des prix sous la forme d'un indice, base 100, en début de période. Par exemple, si les prix de l'alimentation ont baissé de 1,7 %, l'indice des prix de ce poste passe de 100 à 98,3. Si les prix des loisirs ont augmenté de 2,8 %, l'indice passe de 100 à 102,8. Et ainsi de suite pour l'ensemble des postes budgétaires.

• Pour obtenir l'indice général des prix à la consommation, l'Insee calcule une moyenne pondérée de l'ensemble des indices, en donnant à chaque poste son « poids » dans le total en le multipliant par son coefficient budgétaire. Illustrons cette méthode par un exemple simplifié où la consommation des ménages est considérée comme composée de trois postes, selon le tableau ci-dessous.

Postes budgétaires	Coefficient budgétaire de chaque poste	Évolution des prix sur la période	Indice des prix en fin de période (base 100)
Produits agroalimentaires	15 %	− 1,7 %	98,3
Produits industriels	32 %	− 3,4 %	96,6
Services	53 %	+ 7,2 %	107,2

L'indice général des prix de fin de période se calcule ainsi :

Les prix ont donc, en moyenne, augmenté de 2,47 % sur cette période.

• La valeur nominale d'une somme d'argent représente, à l'instant T, le nombre d'unités monétaires (par exemple d'euros ou de dollars) qu'exprime cette somme. Ainsi, la valeur nominale du SMIC mensuel (net de cotisations sociales), en France, est de 1171,34 € au 1^er janvier 2019, pour 35 heures de travail par semaine. Mais il est facile de comprendre que, si ce montant ne change pas au cours de l'année, son pouvoir d'achat (ce qu'il permet d'acheter) baisse en raison de la hausse des prix. Par exemple, si les prix ont augmenté de 5 %, la « valeur réelle » du SMIC aura baissé, il aura perdu du pouvoir d'achat.

• Pour savoir comment évolue la valeur réelle d'une somme d'argent, il faut donc tenir compte de la hausse des prix. Pour réaliser cette opération, il faut « déflater » la somme, c'est-à-dire la « dégonfler » de la hausse des prix. Pour cela, il faut disposer d'un indice des prix de fin de période. Dans l'exemple ci-dessus (fictif), l'indice des prix de fin d'année s'établit à 105 (base 100 au 1^er janvier). La formule qui permet de « déflater » une somme, c'est-à-dire de calculer sa valeur réelle, est la suivante :

Dans notre exemple, si le montant du SMIC ne change pas au cours de l'année, sa valeur réelle au 31 décembre sera devenue :  €
Attention ! Le salarié payé au SMIC touchera toujours, en fin d'année, un salaire de 1171,34 €. Mais celui-ci aura perdu du pouvoir d'achat, il ne permettra plus d'acheter la même quantité de biens qu'au début de l'année. Il ne permettra d'acheter que l'équivalent de 1 115,56 € en début d'année. La perte de pouvoir d'achat peut être évaluée à travers un taux de variation :
 %

1^re remarque :

On peut effectuer le même calcul non en euros, mais en indices. Il faut alors traduire le salaire en indices et « déflater » l'indice du salaire par celui des prix. Dans notre exemple, le salaire n'ayant pas changé, son indice de fin d'année est resté 100. L'opération devient donc :

La valeur réelle de ce salaire, base 100 en début d'année, atteint donc en fin d'année l'indice 95,24 (on vérifie bien que le pouvoir d'achat a baissé de 100 − 95,24 = 4,76 %).

• Le produit intérieur brut (PIB) d'un pays a augmenté, en euros courants (ou en valeur nominale), de 5,2 %. La hausse des prix sur l'année a été de 7,5 %. Comment le PIB a-t-il évolué en euros constants (en valeur réelle) ? Le PIB a vu son indice passé de 100 à 105,2. Les prix sont passés de l'indice 100 à l'indice 107,5. Le PIB en euros constants atteint, en fin d'année, l'indice 97,86. Le PIB a donc baissé en termes réels.