Éléments du raisonnement mathématique

Démontrer, c'est partir d'une vérité admise pour aboutir, à l'aide d'un raisonnement, à une nouvelle vérité.
On enchaîne des déductions de la forme :
Si Proposition 1 alors Proposition 2, d'où Proposition 3, donc Proposition 4, par conséquent Proposition 5, etc.
Chaque proposition est une condition nécessaire pour que la précédente soit vraie.
Elle n'est pas toujours suffisante pour l'affirmer.
Chaque enchaînement constitue une propriété. Elle doit se justifier par un calcul, un axiome (propriété universellement admise) ou un théorème (propriété préalablement démontrée).
Certaines propriétés sont vraies quelle que soit la valeur de la variable ou le point choisi.
D'autres ne sont vérifiées que pour quelques valeurs ou quelques points.
La logique étudie la formulation des raisonnements. C'est une branche des mathématiques, au même titre que l'algèbre ou la géométrie.

1. Quelle est la différence entre les quantificateurs « Quel que soit » et « Il existe » ?

• L'égalité ${(x+2)(x-1)}=x^{2}+x-2$ est vraie quel que soit le nombre réel

. C'est-à-dire qu'en remplaçant

par n'importe quel nombre réel dans le membre de gauche et dans le membre de droite, on obtient le même résultat. Pour le prouver, on développe le membre de gauche.
« Quel que soit » est un quantificateur universel.
L'égalité $x^{2}=2x$ n'est pas vraie pour x=4

, mais elle est vraie pour x=2

. On peut donc affirmer qu'il existe un nombre réel

tel que l'égalité soit vraie.
« Il existe » est un quantificateur existentiel.
Ces quantificateurs sont souvent sous-entendus dans le langage courant.

Exercice n°1
Exercice n°2

2. Quelle est la différence entre « condition nécessaire » et « condition suffisante » ?

• Dans la déduction « Si le quadrilatère est un rectangle alors il possède deux angles droits », la proposition « il possède deux angles droits » est une condition nécessaire pour la proposition « le quadrilatère est un rectangle ».
Elle n'est pas suffisante car un quadrilatère qui a deux angles droits peut être seulement un trapèze rectangle.
Pour que la condition soit suffisante il faut, par exemple, la proposition « il possède quatre angles droits ».

Exercice n°3

3. Comment distinguer « proposition réciproque » et « contraposée » ?

• La proposition « Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² » permet de calculer la mesure d'un côté d'un triangle rectangle connaissant la mesure des deux autres.
Sa réciproque « Si BC² = AB² + AC², alors ABC est un triangle rectangle en A » fournit un outil pour prouver qu'un triangle est rectangle.
Sa contraposée « Si BC² $\neq$ AB² + AC², alors ABC n'est pas un triangle rectangle en A » permet d'établir, par un calcul, qu'un triangle n'est pas rectangle.
L'énoncé réciproque de la propriété « Si P alors Q » est « Si Q alors P ». Sa contraposée est « Si non Q alors non P ».
Lorsque l'énoncé direct et l'énoncé réciproque sont vrais, on dit que les propositions sont équivalentes.

Exercice n°4
Exercice n°5

4. Comment infirmer à l'aide d'un contre-exemple ?

• L'énoncé « Pour entier naturel n on a (n+2)² = n²+4 » est faux. On peut le prouver en remplaçant n par 1 : (1+2)² = 3² = 9 et 1² + 4 = 5.
Pour montrer qu'une propriété n'est pas toujours vraie, on montre à l'aide d'un contre-exemple qu'elle est fausse dans l'un des cas.

Exercice n°6

5. Qu'est-ce qu'un raisonnement par l'absurde ?

• La proposition contraire de P « le nombre n est impair » est la proposition non P « le nombre n est pair ». Pour établir qu'un nombre est impair on peut raisonner par l'absurde en montrant qu'il est impossible que n soit divisible par 2.
Plus généralement, pour montrer qu'une proposition P est fausse, on peut prouver que supposer non P vraie conduit à une impossibilité.

Exercice n°7
Exercice n°8

À retenir

• Pour établir qu'une propriété n'est pas vraie quelle que soit la valeur de la variable ou le point choisi, on peut utiliser un contre-exemple, c'est-à-dire montrer qu'elle est fausse pour un élément particulier.

• Dans l'implication « si P alors Q », la proposition Q est une condition nécessaire pour P. Si l'implication réciproque « si Q alors P » est vraie, la proposition Q devient condition suffisante pour P. Les propositions P et Q sont alors équivalentes.

• L'implication « Si P alors Q » a pour contraposée équivalente « si non Q alors non P ».

• Pour montrer par l'absurde qu'une proposition P est fausse, on montre que son contraire non P conduit à une contradiction.

Exercice n°1

A et B sont deux points distincts du plan. Dans quel cas l'égalité est-elle vraie, quel que soit le point M choisi dans le plan ?

Cochez la bonne réponse.

$\mathrm{AM}+\mathrm{MB}=\mathrm{AB}$

$\mathrm{AM}^2+\mathrm{MB}^2=\mathrm{AB}^2$

ok	$\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

• $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est la relation de Chasles définissant la somme de deux vecteurs.
$\mathrm{AM}+\mathrm{MB}=\mathrm{AB}$ est un cas particulier de l'inégalité triangulaire. Elle n'est vraie que pour les points M du segment [AB].
$\mathrm{AM}^2+\mathrm{MB}^2=\mathrm{AB}^2$ est une égalité de Pythagore. Elle n'est vraie que pour un triangle AMB rectangle en M.

Exercice n°2

Pour quelle(s) relation(s) existe-il au moins un nombre réel solution ?

Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).

x + 1 = x

x² < x

ok	x² = 3x − 1

• La première égalité équivaut à x − x = 1, soit 0 x = 1, ce qui est impossible quel que soit le nombre réel

.
La seconde égalité est vraie pour les nombres réels x tels que 0 < x < 1.
En traçant la parabole d'équation y=x^2

et la droite d'équation y=3x-1

, on constate qu'elles ont un point d'intersection sur l'intervalle [0 ; 1].

Exercice n°3

Pour quelle proposition la condition nécessaire est-elle aussi suffisante ?

Cochez la bonne réponse.

Si x = 2, alors x² = 4

ok	Si xy = 0, alors x = 0 ou y = 0

Si le quadrilatère ABCD est un carré, alors ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires et de même milieu.

• Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
En revanche, si x² = 4, alors x = 2 ou x = −2 ;
Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires et de même milieu peut être seulement un losange. Pour un carré, il faut ajouter des diagonales de même longueur.

Exercice n°4

Quelle est la contraposée de la propriété « Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités du segment » ?

Cochez la bonne réponse.

Si un point n'appartient pas à la médiatrice d'un segment, alors il n'est pas équidistant des extrémités de ce segment.

ok	Si un point n'est pas équidistant des extrémités d'un segment, alors il n'est pas sur la médiatrice de ce segment.

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

• Soit P « un point appartient à la médiatrice d'un segment », alors :
non P = « un point n'appartient pas à la médiatrice du segment ».
Soit Q = « un point est équidistant des extrémités d'un segment », alors :
non Q = « un point n'est pas équidistant des extrémités d'un segment ».
Comme « si P alors Q » a pour contraposée « si non Q, alors non P », alors :
« si un point n'est pas équidistant des extrémités d'un segment, alors il n'est pas sur la médiatrice de ce segment ».

Exercice n°5

Un dicton prétend que « La nuit tous les chats sont gris. »
Quelle est la seule affirmations équivalente au dicton ?

Cochez la bonne réponse.

Si tous les chats sont gris, alors c'est la nuit.

ok	S'il existe un chat qui n'est pas gris, alors ce n'est pas la nuit.

Si ce n'est pas la nuit, alors il existe des chats qui ne sont pas gris.

1^re phrase : c'est la formulation réciproque. Dans l'énoncé, la proposition « Les chats sont gris » est une condition nécessaire, mais on ne sait pas si elle est suffisante.
2^e phrase : c'est la contraposée du dicton, elle est donc équivalente.
3^e phrase : c'est la contraposée de la réciproque. Comme on ne sait pas si la réciproque est vraie, on ne sait pas si la contraposée de la réciproque est vraie.

Exercice n°6

a, b, c et d sont quatre nombres réels.
Déterminer la ou les propriétés fausses. Justifier à l'aide d'un contre-exemple..

Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).

Si a < b et c < d, alors a + c < b + d.

ok	Si a < b et c < d, alors a − c < b − d.

ok	Si a < b et c < d, alors ac < bd.

• La première affirmation est vraie car (b + d) − (a + c) = b + d − a − c = (b − a) + (d − c). Comme a < b et c < d, la dernière somme est positive et la première différence aussi. Donc a + c < b + d.

La deuxième affirmation est fausse pour a = 4, b = 7, c = 1 et d = 6. Les deux premières inégalités sont vraies et la troisième est fausse.

La troisième affirmation est fausse pour a = − 2, b = 1, c = − 3 et d = 4 et pour la même raison.

Exercice n°7

On veut montrer par l'absurde la propriété :
Pour tout nombre réel x non nul, $\frac{x+2}{x} \neq 1$
De quelle(s) proposition(s) faut-il montrer l'impossibilité ?

Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).

ok	Il existe x $\neq$ 0 tel que $\frac{x+2}{x} = 1$

Pour x = 0 on a $\frac{x+2}{x} = 1$

La solution de l'équation $\frac{x+2}{x} = 1$ est x = 0

• Le contraire de la propriété donnée est « Il existe x $\neq$ 0 tel que $\frac{x+2}{x} = 1$ »
Or, pour x $\neq$ 0 $\frac{x+2}{x} = 1$ équivaut à x + 2 = x, soit 2 = 0. Ce qui est impossible !

Exercice n°8

Pour prouver que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel, on montre que l'hypothèse $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ ( $=\frac{a}{b}$ irréductible) conduit à une impossibilité.
Que peut-on déduire de la chaîne d'implications suivantes ?
$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ , alors $2 = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ . Soit a² = 2 b².

Cochez la (ou les) bonne(s) réponse(s).

Chiffre des unités de b	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Chiffre des unités de a	0					0

a n'existe que si b se termine par 0 ou 5. La fraction $\frac {a}{b}$ sera simplifiable par 2 ou par 5, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Chiffre des unités de b	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Chiffre des unités de a	0				4				4

a n'existe que si b se termine par 0, 4 ou 8. La fraction $\frac {a}{b}$ sera simplifiable par 2, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Chiffre des unités de b	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Chiffre des unités de a	0			6			6			9

a n'existe que si b se termine par 0, 3, 6 ou 9. La fraction $\frac {a}{b}$ sera simplifiable par 2, ou par 3 ce qui est contraire à l'hypothèse.

• Après avoir observé le chiffre des unités des carrés des nombres entiers de 0 à 9, on précise les chiffres des unités possibles à chaque étape du raisonnement.

Chiffre des unités de b	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Chiffre des unités de b²	1	4	9	6	5	6	9	4	1
Chiffre des unités de 2b²	2	8	8	2	0	2	8	8	2
Chiffre des unités de a²	2	8	8	2	0	2	8	8	2
Chiffre des unités de a					0

En comparant la dernière ligne du tableau à la première, on constate que la fraction $\frac {a}{b}$ sera toujours simplifiable par 2 ou par 5. Ce qui contredit l'hypothèse, $\frac {a}{b}$ étant supposée irréductible.