Repérage dans le plan et calcul vectoriel
Fiche
En utilisant les nombres réels, on a pu associer à chaque point d'une droite munie d'un repère (O ; I) un nombre appelé son abscisse.
On peut de même associer à chaque point d'un plan muni d'un repère (O ; I, J) deux nombres qui sont les coordonnées du point.
Dans un plan muni d'un repère, on peut calculer les coordonnées d'un vecteur et effectuer différents types de calcul vectoriel pour résoudre des problèmes de géométrie.
On peut de même associer à chaque point d'un plan muni d'un repère (O ; I, J) deux nombres qui sont les coordonnées du point.
Dans un plan muni d'un repère, on peut calculer les coordonnées d'un vecteur et effectuer différents types de calcul vectoriel pour résoudre des problèmes de géométrie.
1. Comment repérer un point dans un plan ?
• On commence par définir un repère du plan : un repère du plan est un triplet de points non alignés (le mot triplet signifie que les trois points considérés sont ordonnés).
En général, on appelle le repère (O ; I, J), où O est l'origine du repère ; la droite (OI) est l'axe des abscisses et la droite (OJ) est l'axe des ordonnées.
En général, on appelle le repère (O ; I, J), où O est l'origine du repère ; la droite (OI) est l'axe des abscisses et la droite (OJ) est l'axe des ordonnées.
• Ensuite, à l'aide du repère, on associe à un point un couple unique de nombres réels en traçant des parallèles aux axes passant par le point.
![]() |
Cherchons par exemple les coordonnées de A sur la figure ci-dessus.
On note
le point d'intersection de (OI) et de la parallèle à (OJ) passant par A et
le point d'intersection de (OJ) et de la parallèle à (OI) passant par A.
On détermine les coordonnées de A en prenant :
– pour l'abscisse de A, l'abscisse du point
sur la droite graduée (OI) d'origine O,
– pour l'ordonnée de A, l'abscisse du point
sur la droite graduée (OJ) d'origine O.
Ici, les coordonnées du point A sont (3 ; 2).
On note
![{\rm{A}}_x](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m1.png)
![{\rm{A}}_y](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m2.png)
On détermine les coordonnées de A en prenant :
– pour l'abscisse de A, l'abscisse du point
![{\rm{A}}_x](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m3.png)
– pour l'ordonnée de A, l'abscisse du point
![{\rm{A}}_y](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m4.png)
Ici, les coordonnées du point A sont (3 ; 2).
Remarques
Si les axes sont perpendiculaires (O ; I, J) est un repère orthogonal.Si les axes sont perpendiculaires et si de plus OI = OJ, alors (O ; I, J) est un repère orthonormal.
Exercice n°1
2. Comment définir un vecteur ? Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?
• Soit un plan dans lequel on a défini une unité de longueur. Un vecteur
est caractérisé par trois données :
– sa direction : celle de la droite (AB) ;
– son sens : celui de A vers B ;
– sa longueur : la distance AB.
![\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m5.png)
– sa direction : celle de la droite (AB) ;
– son sens : celui de A vers B ;
– sa longueur : la distance AB.
• Le vecteur
est égal au vecteur
si ces deux vecteurs ont :
– la même direction, c'est-à-dire si (AB) // (CD) ;
– le même sens, c'est-à-dire si les points B et D sont du même côté de la droite (AC) ;
– la même longueur, c'est-à-dire si AB = CD.
Autrement dit :
si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Ou encore :
si et seulement si l'image de C par la translation qui transforme A en B est D.
si et seulement si [AD] et [BC] ont le même milieu ;
Exercice n°2
![\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m6.png)
![\overrightarrow {\rm{CD}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m7.png)
– la même direction, c'est-à-dire si (AB) // (CD) ;
– le même sens, c'est-à-dire si les points B et D sont du même côté de la droite (AC) ;
– la même longueur, c'est-à-dire si AB = CD.
Autrement dit :
![\overrightarrow {\rm{AB}} = \overrightarrow {\rm{CD}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m8.png)
Ou encore :
![\overrightarrow {\rm{AB}} = \overrightarrow {\rm{CD}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m9.png)
![\overrightarrow {\rm{AB}} = \overrightarrow {\rm{CD}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m10.png)
Exercice n°2
3. Quelles opérations peut-on effectuer sur des vecteurs ?
• La somme de deux vecteurs est un vecteur que l'on peut construire de deux façons :
– avec la relation de Chasles en partant d'un point A :
;
– avec la relation de Chasles en partant d'un point A :
![\vec u + \vec v = \overrightarrow {\rm{AB}} {} + {}\overrightarrow {\rm{BC}} = \overrightarrow {\rm{AC}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m11.png)
![]() |
– avec la règle du parallélogramme :
.
![\vec u + \vec v = \overrightarrow {\rm{AB}} {} + {}\overrightarrow {\rm{AC}} = \overrightarrow {\rm{AD}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m12.png)
![]() |
Remarque
La relation de Chasles sert aussi à décomposer un vecteur en une somme de vecteurs. Si A et B sont deux points donnés, alors, pour tout point C, on a :![\overrightarrow {\rm{AB}} = \overrightarrow {\rm{AC}} + \overrightarrow {\rm{CB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m13.png)
• On définit la multiplication d'un vecteur par un réel de la manière suivante.
Soit
un vecteur non nul et k un nombre réel non nul, le vecteur
est défini ainsi :
–
a la même direction que
;
–
a le même sens que
si k est positif, le sens contraire si k est négatif.
Si k = −1, alors
, ce qui définit le vecteur opposé à
.
Soit
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m14.png)
![\vec{v}=k\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m15.png)
–
![\vec v](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m16.png)
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m17.png)
–
![\vec v](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m18.png)
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m19.png)
Si k = −1, alors
![- 1 \times \vec u = - \vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m20.png)
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m21.png)
• On appelle vecteurs colinéaires des vecteurs qui ont la même direction. Les vecteurs
et
sont colinéaires si et seulement s'il existe un nombre réel k tel que
.
Exemple : sur la figure ci-après, on a
et
, les vecteurs
,
et
sont colinéaires
Exercice n°3Exercice n°4
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m22.png)
![\vec v](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m23.png)
![\vec v = k\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m24.png)
Exemple : sur la figure ci-après, on a
![\overrightarrow {\rm{CD}} = 2,5\,\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m25.png)
![\overrightarrow {\rm{EF}} = - 2\,\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m26.png)
![\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m27.png)
![\overrightarrow {\rm{CD}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m28.png)
![\overrightarrow {\rm{EF}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m29.png)
Exercice n°3Exercice n°4
![]() |
4. Quelles sont les bases du calcul vectoriel ?
• Dans un plan muni d'un repère (O ; I, J), à tout vecteur
est associé un unique point M tel que
, le point M est l'image de l'origine O du repère par la translation de vecteur
.
Par définition, les coordonnées de
sont celles de M : si M a pour coordonnées
, le vecteur
a pour coordonnées
, on écrit
ou aussi
. Par exemple, sur le dessin ci-dessous on a :
.
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m30.png)
![\overrightarrow {\rm{OM}} = \vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m31.png)
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m32.png)
Par définition, les coordonnées de
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m33.png)
![\left( {x\,;\;y} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m34.png)
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m35.png)
![\left( {x\,;\;y} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m36.png)
![\vec u\left( {x\,;\;y} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m37.png)
![\vec u\left| {\begin{array}{l} x \\ y \\ \end{array}} \right.](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m38.png)
![\vec u\left( {3\,;\;4} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m39.png)
![]() |
Il en découle que deux vecteurs
et
sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées :
et
.
![\vec u\left( {x\,;\;y} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m40.png)
![\vec v\left( {x'\,;\;y'} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m41.png)
![x = x'](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m42.png)
![y = y'](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m43.png)
• Il est facile de calculer les coordonnées d'un vecteur
quelconque à partir des coordonnées des points A et B. Dans un repère du plan, soit A un point de coordonnées
et B un point de coordonnées
, alors le vecteur
a pour coordonnées
.
![\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m44.png)
![\left( {x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{A}} } \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m45.png)
![\left( {x_{\rm{B}} \,;\;y_{\rm{B}} } \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m46.png)
![\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m47.png)
![\left( {x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}} } \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m48.png)
• Soit
et
deux vecteurs de coordonnées
et
, alors :
– la somme de deux vecteurs
et
est un vecteur
qui a pour coordonnées
;
– le produit d'un vecteur
par un réel k est un vecteur
qui a pour coordonnées
.
Exercice n°5Exercice n°6
![\vec u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m49.png)
![\vec v](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m50.png)
![\vec u\left( {x\,;\;y} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m51.png)
![\vec v\left( {x'\,;\;y'} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m52.png)
– la somme de deux vecteurs
![\vec u(x\,;\;y)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m53.png)
![\vec v(x'\,;\;y')](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m54.png)
![\vec u + \vec v](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m55.png)
![\left( {x + x'\,;\;y + y'} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m56.png)
– le produit d'un vecteur
![\overrightarrow u (x\,;\;y)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m57.png)
![k\overrightarrow u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m58.png)
![\left( {kx\,;\;ky} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m59.png)
Exercice n°5Exercice n°6
5. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit
et
deux vecteurs du plan.
On dit que les vecteurs
et
sont une base du plan si et seulement si
et
ne sont pas colinéaires.
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m60.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m61.png)
On dit que les vecteurs
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m62.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m63.png)
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m64.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m65.png)
Définition : Soit
et
deux vecteurs du plan.
Le déterminant des vecteurs
et
est le réel a × c − b × d. On le note
.
![\vec{u}(a;b)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m66.png)
![\vec{v}(c;d)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m67.png)
Le déterminant des vecteurs
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m68.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m69.png)
![det(\vec{u},\vec{v})](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m70.png)
Propriété : Soit
et
deux vecteurs du plan.
et
sont colinéaires si et seulement si
.
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m71.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m72.png)
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m73.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m74.png)
![det(\vec{u},\vec{v})=0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m75.png)
Démonstration :
et
sont colinéaires si et seulement si
.
Soit
et
deux vecteurs du plan.
et
sont colinéaires si et seulement si :
alors
.
Ou
alors
.
Ou
et
alors il existe un réel k tel que
.
Si a = 0 alors c = 0 et
.
Si b = 0 alors d = 0 et
.
Si
et
alors
et
et a = k ×c et b = k ×d.
Donc
ainsi ad = bc d'où ad − bc = 0 donc
.
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m76.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m77.png)
![det(\vec{u},\vec{v})=0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m78.png)
Soit
![\vec{u}(a;b)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m79.png)
![\vec{v}(c;d)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m80.png)
![\vec{u}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m81.png)
![\vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m82.png)
![\vec{u}=\vec{0}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m83.png)
![det(\vec{u},\vec{v})=0\times d-c\times 0=0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m84.png)
Ou
![\vec{v}=\vec{0}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m85.png)
![det(\vec{u},\vec{v})=a\times 0-0\times b=0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m86.png)
Ou
![\vec{u}\neq \vec{0}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m87.png)
![\vec{v}\neq \vec{0}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m88.png)
![\vec{u}=k\times \vec{v}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m89.png)
Si a = 0 alors c = 0 et
![det(\vec{u},\vec{v})=0\times d-0\times b=0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m90.png)
Si b = 0 alors d = 0 et
![det(\vec{u},\vec{v})=a\times 0-0\times c=0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m91.png)
Si
![a\neq 0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m92.png)
![b\neq 0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m93.png)
![c\neq 0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m94.png)
![d\neq 0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m95.png)
Donc
![k=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m96.png)
![det(\vec{u},\vec{v})=0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m97.png)
Propriété 1 : A, B et C sont alignés si et seulement si
et
sont colinéaires.
![\overrightarrow{AB}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m98.png)
![\overrightarrow{AC}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m99.png)
Propriété 2 : (AB) et (CD) sont paralléles si et seulement si
et
sont colinéaires.
![\overrightarrow{AB}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m100.png)
![\overrightarrow{CD}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m101.png)
Par exemple, les vecteurs
et
sont colinéaires car : det (
) =
.
![\vec u\left| {\begin{array}{l} 3 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right.](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m102.png)
![\vec v\left| {\begin{array}{l} { - 7,5} \\ 5 \\ \end{array}} \right.](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m103.png)
![\vec u,\\vec v](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m104.png)
![3 \times 5 - ( - 2) \times ( - 7,5) = 0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m105.png)
6. Deux propriétés fondamentales
Propriété 1 : Soit![A(x_{A};y_{A})](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m106.png)
![B(x_{B};y_{B})](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m107.png)
Le milieu du segment [AB] est le point M dont les coordonnées sont
![M\left (\frac{ x_{A}+x_{B}}{2} ;\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right )](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m108.png)
Propriété 2 : Si A et B sont deux points de coordonnées respectives
![\left( {x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{A}} } \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m109.png)
![\left( {x_{\rm{B}} \,;\;y_{\rm{B}} } \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m110.png)
![\left\| {\overrightarrow {\rm{AB}} } \right\| = \sqrt {\left( {x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}} } \right)^2 + \left( {y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}} } \right)^2 }](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m111.png)
Exercice n°8
À retenir
• Un repère du plan est un triplet de points non alignés. À chaque point du plan, on associe un couple unique de nombres réels, ses coordonnées, en traçant des parallèles aux axes passant par ce point.
• Dans un plan muni d'une unité de longueur, un vecteur
est caractérisé par trois données : sa direction, son sens et sa longueur.
![\overrightarrow {\rm{AB}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m112.png)
• La somme de deux vecteurs
et
est un vecteur
qui a pour coordonnées
. Le produit d'un vecteur
par un réel k est un vecteur
qui a pour coordonnées
.
![\vec u(x\,;\;y)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m113.png)
![\vec v(x'\,;\;y')](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m114.png)
![\vec u + \vec v](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m115.png)
![\left( {x + x'\,;\;y + y'} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m116.png)
![\overrightarrow u (x\,;\;y)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m117.png)
![k\overrightarrow u](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m118.png)
![\left( {kx\,;\;ky} \right)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m119.png)
• Les vecteurs
et
sont colinéaires si et seulement si
.
![\vec u(x\,;\;y)](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m120.png)
![\vec v(x'\,;\;y')](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m121.png)
![xy' - x'y = 0](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m122.png)
7. Projeté orthogonal
Définition : Soit un point M est un point extérieur à une droite (d). On dit que le point N de la droite (d) est le projeté orthogonal du point M sur la droite (d) lorsque les droites (MN) et (d) sont perpendiculaires.Démonstration : Le projeté de M sur (d) est le point le plus proche de M.
Soit un point M est un point extérieur à une droite (d). Soit H le projeté orthogonal de M sur (d).
Soit A un point de la droite (d) distinct de H. Le triangle MHA est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore on a l'géalité suivante : MA2 + HA2 + MH2 . Or A et H distinct donc HA > 0 donc HA2 > 0.
Donc MA2 > MH2. Or la fonction racine carrée est croissante sur
![[0;+\infty[](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m123.png)
![\sqrt{\mathrm{MA^2}} > \sqrt{\mathrm{MH^2}}](https://static1.assistancescolaire.com/2/images/2_m304_m124.png)
Comme MA > 0 et MH > 0 alors MA > MH.
Ainsi H est bien le point de (d) le plus proche de M.
Exercice n°9
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