Statistiques descriptives

Une étude statistique comprend en général les étapes suivantes :
1. on précise les questions auxquelles on veut répondre ;
2. on procède à une enquête, on collecte les données ;
3. on présente ces données dans un tableau ;
4. on représente cette série statistique à l'aide d'un diagramme ;
5. intervient enfin le mathématicien qui procède au calcul de paramètres permettant de caractériser toute la série statistique à l'aide de quelques nombres.

1. Comment établir le tableau d'une série statistique ?

• Rappelons le sens de quelques termes en statistique :

l'ensemble étudié lors d'une enquête statistique est la population ;
un élément de cette population est un individu ;
le nombre total d'individus de la population est sa taille ;
le caractère étudié sur cette population est la variable statistique ;
les valeurs prises par cette variable peuvent être appelées modalités.

• La variable est :

qualitative, quand elle prend des valeurs non numériques ;
quantitative, quand elle prend des valeurs numériques.

Quand elle est quantitative, elle peut être :

discrète, quand elle prend un nombre fini de valeurs ;
continue, quand elle prend toute valeur comprise entre deux nombres donnés.

Remarque

Quand le nombre de valeurs prises par la variable statistique est trop grand, on traite la variable comme une variable continue.

• Quand la variable statistique X est discrète, on compte pour chaque valeur le nombre d'individus prenant cette valeur : c'est l'effectif. On aboutit à un tableau du type :

Valeur de X	x₁	x₂	…	x_p
Effectif	n₁	n₂	…	n_p

On calcule parfois, pour chaque valeur, les fréquences relatives : c'est le rapport $\frac{\rm{effectif~de~la~valeur}}{\rm{taille~de~la~population}}$ .

• Quand le nombre de valeurs prises par la variable statistique est trop grand ou quand la variable est continue, on regroupe les valeurs en classes. Ce sont des intervalles semi-ouverts $\left[ {x_{i} ,x_{i + 1}} \right[$ . On appelle amplitude de la classe le nombre : $x_{i + 1} - x_{i}$ et centre de la classe le nombre : $\frac{x_{i + 1} + x_{i}}{2}$ . Pour chaque classe, on compte le nombre d'individus qui prennent une valeur supérieure ou égale à $x_{i}$ et inférieure à $x_{i + 1}$ . Ce sera l'effectif de la classe. On aboutit à un tableau du type :

Valeur de X	$\left[ {x_{1}, x_{2}} \right[$	$\left[ {x_{2}, x_{3}} \right[$	…	$\left[ {x_{p - 1}, x_{p}} \right[$
Effectif	$n_{1}$	$n_{2}$	…	$n_{p}$

On calcule parfois, pour chaque classe de valeurs, sa fréquence relative : c'est le rapport $\frac{\rm{effectif~de~la~classe~de~valeurs}}{\rm{taille~de~la~population}}$ .

Remarque

Lors du regroupement des valeurs par classes, on s'efforce d'avoir des classes de même amplitude et qui ne soient pas trop nombreuses. Souvent cependant, les valeurs extrêmes posent problème, d'où des premières ou dernières classes qui sont soit ouvertes soit d'amplitudes différentes.
Exercice n°1 Exercice n°2

2. Comment représenter une série statistique ?

• Pour représenter une variable statistique discrète, on utilise un diagramme en bâtons (chaque bâton a une hauteur proportionnelle à l'effectif et/ou à la fréquence) ou un diagramme circulaire (chaque secteur est proportionnel à l'effectif et/ou à la fréquence).
Par exemple, la répartition sociologique de 60 étudiants est la suivante : 8 ouvriers ; 23 cadres ; 15 professions libérales ; 11 enseignants et 3 autres.
Pour représenter cette série par un diagramme circulaire, on calcule pour chaque secteur l'angle au centre. Pour le secteur « ouvriers », l'angle au centre est de $(360 \div 60) \times 8 = 48$ , soit 48°.
On procède de même pour les autres secteurs et on obtient le diagramme suivant :

• Pour représenter une variable statistique continue, on trace un histogramme. L'histogramme est constitué de rectangles juxtaposés dont la surface est proportionnelle à l'effectif de la classe correspondante.
Si les classes ont des amplitudes égales, la hauteur des rectangles est proportionnelle à l'effectif. Si les classes ont des amplitudes inégales, on représente la classe ayant la plus petite amplitude ; puis on compense une amplitude k fois plus grande par une hauteur k fois plus petite.
Exercice n°2 Exercice n°3

4. Comment tracer la courbe des effectifs cumulés ?

• Une courbe des effectifs cumulés (ou des fréquences cumulées) est croissante ou décroissante.

• Pour tracer la courbe des effectifs cumulés croissants, on détermine d'abord pour chaque classe $\left[ {x_{i} ,x_{i + 1}} \right[$ l'effectif cumulé croissant N_i

, c'est-à-dire le nombre d'individus qui prennent une valeur inférieure à $x_{i + 1}$ . On place ensuite dans un repère les points $\left( {x_{i + 1}, N_{i}} \right)$ , on obtient ainsi la courbe des effectifs cumulés croissants.

• Pour tracer la courbe des fréquences relatives cumulées croissantes, on procède de même. $N_{i}$ est alors remplacé par $F_{i}$ qui désigne le pourcentage des individus qui prennent une valeur inférieure à $x_{i + 1}$ .

• En remplaçant « inférieur » par « supérieur », on obtient de même les courbes des effectifs cumulés décroissants ou celle des fréquences relatives cumulées décroissantes.
Exercice n°7

4. Comment calculer une moyenne ?

• Quand la série statistique est discrète, de taille n, on peut la représenter sous forme d'un tableau du type :

Valeur de X			...
Effectif			...

où $n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{p} = n$ .
On appelle moyenne de X le nombre :
$\overline X = \frac{1}{n}\left( {n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \ldots + n_{p} x_{p}} \right)$ .

• Quand la série statistique est continue, de taille n, on a un tableau du type :

Valeur de X	$\left[ {x_1,\; x_2} \right[$	$\left[ {x_2,\; x_3} \right[$	...	$\left[ {x_p,\; x_{p + 1}} \right[$
Effectif			...

Pour calculer la moyenne d'une telle série, on utilise la formule précédente en remplaçant x_i

par le centre c_i

de l'intervalle $\left[ {x_i,\; x_{i+1}}\right[$ .
La moyenne de X est alors le nombre :
$\overline X = \frac{1}{n}\left( {n_1 c_1 + n_2 c_2 + \ldots + n_p c_p} \right)$ , où $c_i = \frac{{x_{i + 1} + x_i }}{2}$ .
Exercice n°4 Exercice n°5

5. Comment utiliser les propriétés de la moyenne ?

Lorsque l'on modifie les valeurs d'une série statistique par des opérations simples, il n'est pas toujours nécessaire de recommencer le calcul de la moyenne.
On utilise les propriétés suivantes :
– si $\overline X$ est la moyenne des nombres $x_1,\; x_2,\; \ldots,\; x_n$ et $\overline Y$ celle des nombres $y_1,\; y_2,\; \ldots,\; y_n$ , alors la moyenne des nombres $x_1 + y_1,\; x_2 + y_2,\; \ldots,\; x_n + y_n$ est $\overline {X + Y}$ ;
– si k est un réel quelconque et $\overline X$ la moyenne des nombres $x_1,\; x_2,\; \ldots,\; x_n$ , alors la moyenne des nombres $k + x_1,\; k + x_2,\; \ldots,\; k + x_n$ est $k + \overline X$ ;
– si λ est un réel quelconque et $\overline X$ la moyenne des nombres $x_1,\; x_2,\; \ldots,\; x_n$ , alors la moyenne des nombres $\lambda x_1,\; \lambda x_2,\; \ldots,\; \lambda x_n$ est $\lambda \overline X$ .
Exercice n°6

6. Comment calculer une médiane ?

• La médiane est le nombre qui sépare la série ordonnée en valeurs croissantes en deux groupes de même effectif.
Pour la trouver, on écrit la liste de toutes les valeurs de la série par ordre croissant, chacune d'elles étant répétée autant de fois que son effectif.
On distingue ensuite deux cas :
– si l'effectif total n est un nombre impair, la médiane est le terme de rang $\frac{{n + 1}}{2}$
– si l'effectif total n est un nombre pair, la médiane est le centre de l'intervalle formé par les termes de rang $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2} + 1$

• Quand la série est regroupée par classes, on détermine la médiane graphiquement à partir du polygone des effectifs ou des fréquences cumulés.
On calcule pour chaque classe $\left[ {x_i,\; x_{i + 1}} \right[$ l'effectif cumulé croissant N_i

, c'est-à-dire le nombre d'individus qui prennent une valeur inférieure à $x_{i + 1}$ . On place ensuite dans un repère les points $\left( {x_{i + 1},\; N_i } \right)$ , on obtient ainsi le polygone des effectifs cumulés croissants.
La médiane est l'abscisse du point dont l'ordonnée est $\frac{n}{2}$ .
Exercice n°7

7. Quels autres paramètres peut-on calculer ?

Les mathématiciens disent parfois qu'il existe autant de paramètres statistiques que de statisticiens. Sans aller jusque-là, on peut donner ou calculer, outre la moyenne et la médiane, les paramètres suivants :
– les valeurs extrêmes, c'est-à-dire la plus grande valeur $X_{max}$ et la plus petite valeur $X_{min}$ atteintes par la série ;
– l'étendue, c'est-à-dire la différence entre la plus grande et la plus petite valeur prises par la variable, soit $X_{max} - X_{min}$ ;
– le mode (ou la classe modale), c'est-à-dire la valeur (ou la classe) ayant le plus grand effectif ;
– le premier quartile Q₁, qui est la valeur de la variable au-dessous de laquelle on trouve le quart de l'effectif. Si la série est discrète, c'est la valeur de la variable dont le rang est égal ou immédiatement supérieur au quart de l'effectif. Si la série est continue, on lit la valeur correspondant à 25 % de l'effectif sur le polygone des fréquences ou des effectifs cumulés. On peut calculer une valeur plus précise par interpolation linéaire.
– le troisième quartile Q₃, qui est la valeur de la variable au-dessous de laquelle on trouve les trois-quarts de l'effectif. Si la variable est discrète, c'est la valeur de la variable dont le rang est égal ou immédiatement supérieur aux trois-quarts de l'effectif. Si la série est continue, on lit la valeur correspondant à 75 % de l'effectif sur le polygone des fréquences ou des effectifs cumulés.
– l'écart interquartile, qui est égal à la différence Q₃ − Q₁.
Exemple :
Le tableau indique la répartition des logements d'une ville en fonction du nombre de pièces.

Nombre de pièces x_i	1	2	3	4	5	6	7
Pourcentages n_i	10	15	20	30	12	8	5
Pourcentages cumulés croissants	10	10 + 15 = 25	25 + 20 = 45	45 + 30 = 75	87	95	100
Pourcentages cumulés décroissants	100	100 − 10 = 90	90 − 15 = 75	75 − 20 = 55	25	13	5

Mode = 4.
Médiane = 3,5.
Q₁ = 2 car 25 % des logements ont deux pièces ou moins.
Q₃ = 4 car 75 % des logements ont quatre pièces ou moins, c'est à dire que 25 % ont cinq pièces ou plus.

Remarque

Un paramètre quel qu'il soit n'a guère de sens en lui-même. Les enseignements que l'on peut tirer d'une série statistique proviennent plus souvent de la comparaison des paramètres entre eux.
Exercice n°8 Exercice n°9 Exercice n°10

8. Comment calculer une variance et un écart type ?

Soit la série statistique de taille n suivante :

X	x₁	x₂	…	x_p
Effectif	n₁	n₂	…	n_p	n

On rappelle que la moyenne de X est le nombre : $\overline X = \frac{1}{n}\left( {n_1 x_1 + n_2 x_2 + ... + n_p x_p } \right)$ .
On appelle variance de la série statistique X, le nombre :
$V\left( X \right) = \frac{1}{n}\left( {n_1 \left( {x_1 - \overline X } \right)^2 + n_2 \left( {x_2 - \overline X } \right)^2 + ... + n_p \left( {x_p - \overline X } \right)^2 } \right)$ , qu'on réécrit ainsi :
$V\left( X \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i \left( {x_i - \overline X } \right)^2 }$ .
L'écart type de X est le nombre : ${\rm{s}}\left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}$ .

Exemple

On étudie X l'âge des employés d'une entreprise. On obtient :

Âge	[20 ; 25[	[25 ; 30[	[30 ; 35[	[35 ; 40[	[40 ; 45[	[45 ; 50[	[50 ; 55[
Effectif	150	300	600	750	450	600	150	3 000

La moyenne de X est :
$\overline X = \frac{1}{{3~000}}\left( \begin{array}{l} 150 \times 22,5 + 300 \times 27,5 + 600 \times 32,5 + \\ 750 \times 37,5 + \cdots + 150 \times 52,5 \end{array} \right)$
$\overline X = 38,25$ .
La variance de X est :
$V\left( X \right) = \frac{1}{{3~000}}\left( \begin{array}{l} 150\left( {22,5 - 38,25} \right)^2 + 300\left( {27,5 - 38,25} \right)^2 + \\ 600\left( {32,5 - 38,25} \right)^2 + \\ 750\left( {37,5 - 38,25} \right)^2 + \cdots + 150\left( {52,5 - 38,25} \right)^2 \\ \end{array} \right)$
$V\left( X \right) = 60,6875$ .
Et l'écart type de X est : ${\rm{s}}\left( X \right) = \sqrt {60,6875} \approx 7,79$ .

Remarques

• La variance, l'écart type mesurent la façon dont les valeurs de X se dispersent autour de la moyenne. Ce sont des paramètres de dispersion (alors que la moyenne et la médiane sont des paramètres de position, ils précisent vers quelles valeurs se situe la série).

• On peut aussi calculer la variance à l'aide de la formule suivante :
$V\left( X \right) = \frac{1}{n}\left( {n_1 x_1 ^2 + n_2 x_2 ^2 + .... + n_p x_p ^2 } \right) - \overline X ^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i } x_i ^2 - \overline X ^2$ .

• Dans le cas où, au lieu d'avoir une valeur x_i

, on a un intervalle, les formules sont les mêmes en remplaçant x_i

par le centre de l'intervalle.
Exercice n°11 Exercice n°12

À retenir

• La moyenne de X est le nombre : $\overline X = \frac{1}{n}\left( {n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_p x_p } \right)$ .

• La médiane est le nombre qui sépare la série en deux groupes de même effectif.

• Au-dessous du premier quartile on trouve le quart de l'effectif, au-dessous du troisième quartile on trouve les trois-quarts de l'effectif.

Soit X une série statistique.

• La variance de X est le nombre : $V\left( X \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i \left( {x_i - \overline X } \right)^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i } x_i ^2 - \overline X ^2 }$ .
L'écart type de X est la racine carrée de la variance : ${\rm{s}}\left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}$ .

• Le premier quartile de X, noté Q₁, est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des données soient inférieures ou égales à Q₁.
Le troisième quartile de X, noté Q₃, est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 75 % des données soient inférieures ou égales à Q₃.
L'intervalle interquartile est l'intervalle $\left[ {Q_1 {\rm{~;~}}Q_3 } \right]$ .

Exercice n°1

Archibald, le fermier, pour mieux planifier son élevage de gallinacés, étudie le nombre X d'années d'ancienneté de ses meilleures pondeuses. Il obtient pour ses 60 poules les données brutes suivantes :

1,2	2,3	2,5	3,1	4,2	5,5	6,2	6,2	1,5	4,1
4,5	1,5	4,5	3,5	2,1	1,4	6,2	7,5	8,5	4,7
1,8	2,5	2,7	7,3	5,4	4,1	3,9	1,5	4,2	8,4
6,2	6,3	1,2	4,2	3,5	3	1,9	2,5	2,4	4,8
1,7	5,4	4,4	6,5	7,2	2,5	3	6,3	5,6	3
7	2,1	2	1,4	1,9	7,7	8,8	8	1,5	2,3

Il décide de traiter X comme une variable aléatoire continue et de regrouper les valeurs par classes d'amplitude 1,5.
L'effectif de la classe [1,5 ; 3[ est :

Cochez la bonne réponse.

Il faut compter le nombre de fois où X prend une valeur supérieure ou égale à 1,5 et inférieure à 3.
3 + 2 + 4 + 3 + 2 + 5 = 19 (en comptant ligne par ligne).

Exercice n°2

Voici un tableau indiquant la répartition des 1 600 salariés d'une entreprise en fonction de leur temps de transport.

Nombre d'heures x_i	De 0 à 0,5	De 0,5 à 1	De 1 à 1,5	De 1,5 à 2
Effectifs n_i	200	310	480	610
Effectifs cumulés croissants	200	510	990	1 600

Utilisez le polygone des effectifs cumulés croissants pour déterminer l'affirmation fausse.

Cochez la bonne réponse.

Le quart des salariés vient en moins de 50 min.

La moitié des salariés vient en moins de 1 h 20 min.

ok	Les trois-quarts des salariés viennent en moins de 1 h 30 min.

• Le troisième quartile correspond aux trois-quarts de l'effectif.
$1\,600\,\times\,\frac{3}{4}\,=\,1\,200.$
Le point du polygone des effectifs cumulés croissants d'ordonnée 1 200 a pour abscisse environ 1,67.
1,67 × 60 = 100,2, soit environ 1 h 40 min.
C'est donc au-dessous de 1 h 40 min qu'on trouve les trois quarts de l'effectif.
Comme la durée de 1 h 30 min est inférieure, l'affirmation est fausse.

• Le calcul par interpolation linéaire permet d'obtenir plus précisément :
$1,5\,+\,\frac{1\,200\,-\,990}{610}\,\times\,0,5\,\approx\,1,672.$ $0,672\,\times\,60\,=\,40,32.$
$0,32\,\times\,60\,\approx\,19.$
Soit 1 h 40 min 19 s.

Exercice n°3

Dans une classe de 35 élèves, on effectue une enquête en demandant à chacun le nombre de livres lus le mois écoulé. On obtient les résultats suivants :

Nombre de livres	0	1	2	3	5	7
Effectif	3	11	10	8	1	2	35

Quelle est la variance de cette série statistique ?

Cochez la bonne réponse.

ok	$\frac{{3~134}}{{1~225}}$

$\frac{{246}}{{35}}$

$\approx 89,542$

On commence par calculer la moyenne :
$\overline X = \frac{1}{{35}}\left( {0 \times 3 + 1 \times 11 + 2 \times 10 + 3 \times 8 + 5 \times 1 + 7 \times 2} \right)$
$\overline X = \frac{{74}}{{35}} \approx 2,11$
On calcule ensuite la variance :
$V\left( X \right) = \frac{1}{{35}}\left( {3\left( {0 - \frac{{74}}{{35}}} \right)^2 + \cdots+ 2\left( {7 - \frac{{74}}{{35}}} \right)^2 } \right)$
$V\left( X \right) = \frac{{3~134}}{{1~225}} \approx 2,558$

Remarque : pour calculer la variance, on a utilisé la valeur exacte de la moyenne ( $\frac{{74}}{{35}}$ et non pas 2,11).

Exercice n°4

Dans une classe de 35 élèves, on effectue une enquête en demandant à chaque élève le nombre d'heures hebdomadaires consacrées à leur devoir de mathématiques. On obtient les résultats suivants :

Nombre d'heures	Moins d'1 h	Entre 1 h et 2 h	Entre 2 h et 3 h	Entre 3 h et 4 h
Effectif	10	8	13	4	35

Quelle est, en valeur approchée, la variance de cette série statistique ?

Cochez la bonne réponse.

1,81

4,307

1,0155

On calcule d'abord la moyenne : $\overline X = \frac{1}{{35}}\left( {10 \times 0,5 + 8 \times 1,5 + 13 \times 2,5 + 4 \times 3,5} \right)$
$\overline X = \frac{{63,5}}{{35}} \approx 1,81$
Puis on calcule la variance : $\frac{1}{{35}}\left( {10 \times 0,5^2 + 8 \times 1,5^2 + 13 \times 2,5^2 + 4 \times 3,5^2 } \right) = \frac{{150,75}}{{35}}$
Ou encore : $V\left( X \right) = \frac{{150,75}}{{35}} - \left( {\frac{{63,5}}{{35}}} \right)^2 = \frac{{1~244}}{{1~225}} \approx 1,0155$ .

Remarque : pour calculer la variance, on a utilisé la valeur exacte de la moyenne tout au long du calcul. Pour ce calcul, on a utilisé non pas la définition mais la formule : $V\left( X \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^p {n_i } x_i ^2 - \overline X ^2$ .
Attention lorsque l'on utilise cette formule à ne pas oublier $\overline X ^2$ .

Exercice n°5

X est le nombre de retards pour le premier trimestre sur une population de 2000 lycéens :

X	0	1	2	3	4
Effectif	240	620	520	360	260	2 000

On représente cette série par un diagramme en bâtons. L'échelle sur l'axe des ordonnées est 1,5 cm pour 100 lycéens. Le bâton correspondant à la valeur 1 mesure :

Cochez la bonne réponse.

4,13 cm

6,2 cm

9,3 cm

On a le tableau de proportionnalité suivant :

1,5	100
x	620

D'où : $x = \frac{{620 \times 1,5}}{{100}} = 9,3$ soit 9,3 cm.

Voici le diagramme en bâtons qu'on obtient :

Exercice n°6

Archibald, le fermier, décide ce dimanche matin d'étudier le poids X de ses œufs. Pour les 100 œufs de sa récolte dominicale, il obtient :

X : poids en g	[0 ; 40[	[40 ; 60[	[60 ; 70[	[70 ; 80[	[80 ; 100[
Effectif	10	15	20	35	20

Pour tracer l'histogramme des effectifs, il choisit pour échelle sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 10 g.

Le rectangle de la classe [60 ; 70[ a pour hauteur 4 cm ; celui de la classe [40 ; 60[ a pour hauteur :

Cochez la bonne réponse.

1,5 cm

3 cm

6 cm

Attention, les classes n'ont pas la même amplitude.

Avec la même échelle sur l'axe des ordonnées que pour la classe [60 ; 70[ (2 cm pour 10 œufs), le rectangle de la classe [40 ; 60[ devrait avoir pour hauteur 3 cm.

Mais comme la classe [40 ; 60[ est d'amplitude deux fois plus grande (et est donc représentée par un rectangle de 2 cm de large), on compense par une hauteur deux fois plus petite, d'où une hauteur de 1,5 cm.

Voici l'histogramme qu'on obtient :

Exercice n°7

Dans une classe de 40 élèves, on effectue une enquête, après 7 devoirs de mathématiques, en demandant à chacun le nombre de fois où il a copié son devoir sur un camarade. On obtient les résultats suivants :

Nombre de devoirs copiés	0	1	2	3	5	6	7
Effectif	11	8	5	6	2	4	4

La moyenne de cette série statistique est :

Cochez la bonne réponse.

2,725

2,45

On calcule la moyenne :
$\overline X = \frac{1}{{40}}\left( {0 \times 11 + 1 \times 8 + 2 \times 5 + 3 \times 6 + 5 \times 2 + 6 \times 4 + 7 \times 4} \right) = \frac{{98}}{{40}} = 2,45$ .

Exercice n°8

Excédées par les études statistiques d'Archibald le fermier, ses poules décident de rédiger une pétition. Pour étayer leurs revendications, elles mesurent, en cm², la place réservée à chacune d'elles. Elles obtiennent :

Surface en cm²	[0 ; 100[	[100 ; 200[	[200 ; 300[	[300 ; 400[	[400 ; 450[
Effectif	10	26	38	21	5

La moyenne de cette série statistique est :

Cochez la bonne réponse.

185

282,5

233,75

Attention à bien utiliser le centre de la classe pour calculer cette moyenne.
$\overline X = \frac{1}{{100}}\left( {50 \times 10 + 150 \times 26 + 250 \times 38 + 350 \times 21 + 425 \times 5} \right) = \frac{{23~375}}{{100}} = 233,75$ .

Exercice n°9

345 005
345 002
345 008
345 006
345 009
345 000

Sans calculatrice, la moyenne de ces nombres est :

Cochez la bonne réponse.

impossible à calculer

345 005

345 004

• Tous les nombres sont de la forme « 345 000 + un entier ».
On a donc : $345~000 + 5\,;\; 345~000 + 2\,;\; 345~000 + 8\,;\; 345~000 + 6\,;\; 345~000 + 9\,;\; 345~000 + 0$ .
La moyenne des nombres 5 ; 2 ; 8 ; 6 ; 9 et 0 est : $\frac{{5 + 2 + 8 + 6 + 9 + 0}}{6} = 5$ .

• Or, si $\overline X$ est la moyenne des nombres $x_1,\: x_2,\: \ldots,\: x_n$ , alors la moyenne des nombres $k + x_1,\: k + x_2,\: \ldots,\: k + x_n$ est $k + \overline X$ .
Donc la moyenne des nombres de départ est : 345~000 + 5 = 345~005

Exercice n°10

Nombre de devoirs copiés	0	1	2	3	5	6	7
Effectif	11	8	5	6	2	4	4

La médiane de cette série statistique est :

Cochez la bonne réponse.

1,5

• On écrit la liste des 40 valeurs de la série par ordre croissant, chacune d'elles répétée autant de fois que son effectif. On obtient :
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7.

• Le 20^e terme est un « 2 », le 21^e est aussi un « 2 », la médiane est donc 2.

Remarque : si le 20^e terme avait été un « 1 » et le 21^e un « 2 », la médiane aurait été $\frac{{1 + 2}}{2} = 1,5$ .

Exercice n°11

Nombre de devoirs copiés	0	1	2	3	5	6	7
Effectif	11	8	5	6	2	4	4

L'étendue et le mode de cette série sont :

Cochez la bonne réponse.

ok	étendue : 7 ; mode : 0

étendue : 7 ; mode : 11

étendue : 11 ; mode : 11

• La plus grande valeur prise par la série est 7 (et 4 élèves ont copié 7 fois leur devoir ; ceci sur 7 devoirs, ils font très forts…).

• La plus petite valeur prise par la série est 0 (et 11 élèves n'ont jamais copié leur devoir, ou alors ils mentent…).

• L'étendue de la série est donc : 7 − 0 = 7.
Le mode est la valeur de la série qui a le plus grand effectif ; ici c'est 0.

Exercice n°12

Soit une série de notes obtenues à un contrôle.

Notes	8	10	11	12	14	15
Effectifs	2	4	6	5	3	7
Effectifs cumulés croissants	2	6	12	17	20	27

L'intervalle interquartile est égal à :

Cochez la bonne réponse.

• L'intervalle interquartile est égal à 4.
$27\,\times\,\frac{1}{4}\,=\,6,75.$
Le premier quartile se situe au 7^e rang. En utilisant les effectifs cumulés croissants, on obtient 11.
$27\,\times\,\frac{3}{4}\,=\,\frac{27\,\times\,3}{4}\,=\,20,25.$ Le troisième quartile se situe au 21^e rang. En utilisant les effectifs cumulés croissants on obtient 15.
L'intervalle interquartile est : 15 − 11 = 4.

• La plus petite valeur prise par la série est 0 (et 11 élèves n'ont jamais copié leur devoir, ou alors ils mentent…).

• L'étendue de la série est donc : 7 − 0 = 7.
Le mode est la valeur de la série qui a le plus grand effectif ; ici c'est 0.

1,2	2,3	2,5	3,1	4,2	5,5	6,2	6,2	1,5	4,1
4,5	1,5	4,5	3,5	2,1	1,4	6,2	7,5	8,5	4,7
1,8	2,5	2,7	7,3	5,4	4,1	3,9	1,5	4,2	8,4
6,2	6,3	1,2	4,2	3,5	3	1,9	2,5	2,4	4,8
1,7	5,4	4,4	6,5	7,2	2,5	3	6,3	5,6	3
7	2,1	2	1,4	1,9	7,7	8,8	8	1,5	2,3

1,2	2,3	2,5	3,1	4,2	5,5	6,2	6,2	1,5	4,1
4,5	1,5	4,5	3,5	2,1	1,4	6,2	7,5	8,5	4,7
1,8	2,5	2,7	7,3	5,4	4,1	3,9	1,5	4,2	8,4
6,2	6,3	1,2	4,2	3,5	3	1,9	2,5	2,4	4,8
1,7	5,4	4,4	6,5	7,2	2,5	3	6,3	5,6	3
7	2,1	2	1,4	1,9	7,7	8,8	8	1,5	2,3

1,2	2,3	2,5	3,1	4,2	5,5	6,2	6,2	1,5	4,1
4,5	1,5	4,5	3,5	2,1	1,4	6,2	7,5	8,5	4,7
1,8	2,5	2,7	7,3	5,4	4,1	3,9	1,5	4,2	8,4
6,2	6,3	1,2	4,2	3,5	3	1,9	2,5	2,4	4,8
1,7	5,4	4,4	6,5	7,2	2,5	3	6,3	5,6	3
7	2,1	2	1,4	1,9	7,7	8,8	8	1,5	2,3