Probabilités

Par une lettre du 29 juillet 1654, Pascal répond à Fermat sur le problème des « parties » (Pascal, Œuvres complètes, Gallimard, « La Pléiade », p. 77). On peut dater de ce jour la naissance des probabilités. Cette branche des mathématiques prendra son plein essor avec les Bernoulli, puis avec Poisson, jusqu'à fournir, au xx^e siècle, la base théorique nécessaire à la conception des lois de toutes les sciences, de la physique à la sociologie.

1. Comment définir une probabilité ?

• On part d'une expérience aléatoire E, c'est-à-dire d'une expérience dont on peut prévoir les issues possibles, mais dont on ne connaît le résultat qu'après sa réalisation.

• Première étape : à l'aide d'un arbre, par exemple, on détermine toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire. On définit ainsi l'univers $\Omega$ comme l'ensemble de toutes les issues possibles de E. On a : $\Omega = \left\{ {e_1 ,\,e_2 ,\,...,\,e_n } \right\}$

• Seconde étape : à chaque issue on attribue une probabilité, c'est-à-dire qu'à chaque e_i

on associe un nombre p_i

. Ces nombres doivent vérifier les conditions suivantes :
$\left\{ \begin{array}{l} 0 \le p_i \le 1{\rm{, pour~tout}}~i \in \left\{ {1,\,...,\,n} \right\} \\ p_1 + p_2 + ... + p_n = 1 \\ \end{array} \right.$ Pour déterminer les nombres p_i

, il existe deux possibilités :

soit on associe à toutes les issues la même probabilité $p_i = \frac{1}{n}$ , on dit alors que la probabilité est équirépartie ou que l'on est dans une situation d' équiprobabilité ;
soit on répète l'expérience dans des conditions identiques, on définit alors comme la fréquence de quand le nombre de répétitions tend vers $+ \infty$ .

• À l'issue de ces deux étapes, on a établi la loi de probabilité que l'on présente sous forme de tableau :

Issue			…
Probabilité			…		1

Remarque

La première étape est essentielle. Il s'agit d'abord de bien comprendre l'expérience, de la visualiser et de la simuler pour écrire quelques issues possibles. Il s'agit enfin de déterminer toutes les issues de l'expérience. C'est dans ce « toutes » que réside la difficulté.
Exercice n°1 Exercice n°2 Exercice n°3

2. Comment calculer la probabilité d'un événement ?

Soit E une expérience aléatoire et $\Omega = \left\{ {e_1 ,\,e_2 ,\,...,\,e_n } \right\}$ , l'univers associé à E.

• On appelle événement de l'expérience aléatoire E, tout sous-ensemble de $\Omega$ .
Autrement dit, un événement A est une partie de $\Omega$ .
Quand x_i

appartient à A, on dit aussi que x_i

réalise A.
On appelle événement élémentaire, un événement constitué d'un seul élément de $\Omega$ , c'est-à-dire constitué d'une seule issue $\left\{ {e_i } \right\}$ .

• La probabilité P(A) d'un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.
Dans le cas où la probabilité est équirépartie, chaque issue e_i

a pour probabilité $\frac{1}{n}$ .
Ainsi, si A contient m éléments, $P\left( A \right) = m \times \frac{{\rm{1}}}{n}$ .
Autrement dit : P(A) est égal au rapport du nombre d'éléments de A par le nombre d'éléments de Ω.

Remarques

• La probabilité d'un événement élémentaire $\left\{ {e_i } \right\}$ est p_i

• $\Omega$ est appelé événement certain ; $P\left( \Omega \right) = 1$ .

• Le sous-ensemble vide, noté $\O{}$ , est appelé événement impossible ; $P(\O{}) = 0$ .
Exercice n°4 Exercice n°5 Exercice n°6

3. Comment calculer la probabilité de l'union de deux événements ?

• Soit A et B deux événements d'une même expérience aléatoire.
$A \cup B$ est l'événement constitué des issues qui appartiennent à A ou à B.
$A \cap B$ est l'événement constitué des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.
Quand $A \cap B = \O{}$ , c'est-à-dire quand aucune issue n'appartient à la fois à A et à B, on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints).

• Si A et B sont quelconques : $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$ .
Si A et B sont incompatibles (ou disjoints) : $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$ .
Exercice n°7 Exercice n°8

4. Comment calculer la probabilité d'un événement contraire ?

L'événement contraire de A, noté $\overline A$ , est l'événement qui se réalise quand A n'est pas réalisé. Il est constitué des issues de $\Omega$ qui n'appartiennent pas à A.
Cela se résume ainsi : $A \cap \overline A = \O{}$ et $A \cup \overline A = \Omega$ .

• En utilisant les propriétés du paragraphe précédent, on montre que, pour tout événement A : $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)$ .
Exercice n°9 Exercice n°10

À retenir

• Définir une probabilité, c'est associer à chaque issue x_i

un nombre

positif de telle sorte que p_1 + p_2 + ... + p_n = 1

• La probabilité P(A) d'un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.

• Dans le cas équiprobable : $P\left( A \right) = \frac{{{\rm{nombre~d'elements~de~A}}}}{{{\rm{nombre~d'elements~de~}}\Omega }}$ .

• Soit A et B deux événements quelconques : $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$ .

• Soit A un événement quelconque : $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)$ .

Exercice n°1

Cochez la bonne réponse.

Victor l'alligator, mange le midi soit un lapin, soit un poulet, soit un joli steak. La loi de probabilité de son menu, un jour donné, est la suivante :

Issue	Lapin	Poulet	Steak
Probabilité	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{4}$	a

Quelle est la valeur de a ?

Cochez la bonne réponse.

$\frac{{17}}{{20}}$

ok	$\frac{3}{{20}}$

On doit avoir : $\frac{3}{5} + \frac{1}{4} + a = 1$ , d'où : $a = 1 - \frac{3}{5} - \frac{1}{4}$ , c'est-à-dire $a = \frac{3}{{20}}$ .

Exercice n°2

Cochez la bonne réponse.

Une tombola émet 10 000 billets numérotés de 1 à 10 000. On prend un billet au hasard. Calculer la probabilité de l'événement A : « le numéro du billet est un nombre impair ou n'est pas un multiple de 5 ».
Calculer la probabilité de l'événement A.

Cochez la bonne réponse.

$P\left( A \right) = \frac{1}{{10}}$

$P\left( A \right) = \frac{1}{2}$

ok	$P\left( A \right) = \frac{9}{{10}}$

• Le plus simple est d'étudier l'événement contraire. On peut considérer que A est l'événement : « le numéro du billet n'est pas pair ou n'est pas un multiple de 5 » ; l'événement contraire est $\overline A$ : « le numéro est pair et est un multiple de 5 » ; $\overline A$ est l'ensemble des multiples de 10.

• Or entre 1 et 10 000, il y a 1 000 multiples de 10 (10 entre 1 et 100, 100 entre 1 et 1 000, 1 000 entre 1 et 10 000), d'où : $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{1~000}}{{10~000}} = \frac{1}{{10}}$ .

• Comme $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)$ , on a alors $P\left( A \right) = \frac{9}{{10}}$ .

Exercice n°3

Cochez la bonne réponse.

Dans une boîte, il y a 8 craies : 4 blanches, 3 rouges, 1 verte. On prend une craie au hasard dans la boîte.
Quelle est la loi de probabilité de ce tirage ?

Cochez la bonne réponse.

Issue	Blanche	Rouge	Verte
Probabilité	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

Issue	Blanche	Rouge	Verte
Probabilité	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

Issue	Blanche	Rouge	Verte
Probabilité	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

• P(Blanche) = $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ ; P(Rouge) = $\frac{3}{8}$ ; P(Verte) = $\frac{1}{8}$ .

• Attention, les couleurs ne sont pas équiprobables ; ce sont les craies qui ont toutes la même chance d'être tirées.

Exercice n°4

Cochez la bonne réponse.

Une urne contient trois jetons blancs numérotés de 1 à 3 et deux jetons noirs numérotés 1 et 2.
On retire deux jetons de cette urne successivement et sans remise.
Le nombre d'issues de cette expérience est :

Cochez la bonne réponse.

• On note

le jeton blanc numéroté i et N_i

le jeton noir numéroté i.
Une issue possible est : ( B_1

). Une autre est ( B_1

).
Pour écrire toutes les issues, on commence par écrire la valeur du 1^er jeton, on a 5 possibilités. Puis, on écrit la valeur du 2^e jeton, on a 4 possibilités (tous les jetons sauf celui que l'on vient d'écrire).
On en déduit le nombre d'issues : 5 × 4 = 20.

• Remarque : on peut aussi utiliser un arbre.

Exercice n°5

Cochez la bonne réponse.

Le nombre de retards, le samedi matin, dans une classe de lycée, va de 0 à 7, avec la loi de probabilité suivante :

Issue	0	1	2	3	4	5	6	7
Probabilité	0,02	0,14	0,25	0,17	0,16	0,11	0,12	0,03

Un samedi matin pris au hasard, la probabilité qu'il y ait au moins 4 retards est :

Cochez la bonne réponse.

0,16

0,26

0,42

L'événement : « obtenir au moins 4 retards » est l'ensemble des issues : $\left\{ {4,\,5,\,6,\,7} \right\}$ .
On en déduit que $P\left( A \right) = 0,16 + 0,11 + 0,12 + 0,03 = 0,42$ .

Exercice n°6

Cochez la bonne réponse.

49 boules numérotées de 1 à 49 sont mélangées dans une urne. On extrait une boule de l'urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 4 ?

Cochez la bonne réponse.

ok	$\frac{{12}}{{49}}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{4}{{49}}$

Toutes les boules sont équiprobables.
On appelle A l'événement : « obtenir un multiple de 4 ». On cherche à calculer P(A).
Par définition : $P\left( A \right) = \frac{{{\rm{nombre~d'issues~qui~constituent~A}}}}{{{\rm{nombre~d'issues~de~}}\Omega }}$ .
L'événement A est égal à $\left\{ {{\rm{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}}} \right\}$ , d'où $P\left( A \right) = \frac{{12}}{{49}}$ .

Exercice n°7

Cochez la bonne réponse.

On étudie le nombre d'élèves « collés » au moins une fois en fonction de leur sexe. On a :

	Collé au moins une fois	Jamais collé
Fille	12	68
Garçon	48	72

On prend un élève au hasard. Quelle est la probabilité pour que ce soit un garçon n'ayant jamais été collé ?

Cochez la bonne réponse.

$\frac{{72}}{{120}}$

ok	$\frac{{72}}{{200}}$

$\frac{{72}}{{140}}$

• Chaque élève est une issue possible de l'expérience : « prendre un élève au hasard ». On a 200 issues possibles. L'événement A : « c'est un garçon n'ayant jamais été collé » est constitué de 72 élèves. On en déduit que : $P\left( A \right) = \frac{{72}}{{200}}$ .

• Question subsidiaire pour départager d'éventuels ex aequo : au vu de ces données, peut-on conclure que les filles sont plus sérieuses que les garçons ?

Exercice n°8

Cochez la bonne réponse.

Dans une grande urne, on place 35 éléphants. 28 sont des éléphants d'Afrique (les autres sont des éléphants d'Asie), 18 sont des femelles dont 15 sont des éléphantes d'Afrique.
On prend un éléphant au hasard, la probabilité pour que ce soit un éléphant d'Afrique ou une femelle est :

Cochez la bonne réponse.

$\frac{{20}}{{35}}$

ok	$\frac{{31}}{{35}}$

$\frac{{15}}{{35}}$

• Si l'on appelle A l'événement : « l'éléphant choisi est un éléphant d'Afrique » et B l'événement : « l'éléphant choisi est une femelle », on a : $P\left( A \right) = \frac{{28}}{{35}}$ et $P\left( B \right) = \frac{{18}}{{35}}$ .
(On est ici dans une situation d'équiprobabilité, où chaque éléphant a la même chance d'être choisi.)

• On cherche $P\left( {A \cup B} \right)$ . On a $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$ .
Or $A \cap B$ est l'événement : « l'éléphant choisi est d'Afrique et est une femelle » et $P\left( {A \cap B} \right) = \frac{{15}}{{35}}$ .
D'où le résultat : $P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{28}}{{35}} + \frac{{18}}{{35}} - \frac{{15}}{{35}} = \frac{{31}}{{35}}$ .

Exercice n°9

Cochez la bonne réponse.

Soit A et B deux événements incompatibles avec $P\left( A \right) = 0,35$ , alors on a :

Cochez la bonne réponse.

ok	$P\left( B \right) \le 0,65$

$P\left( B \right) = 0,35$

$P\left( B \right) = 0,65$

• A et B sont deux événements incompatibles, donc $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$ .
Tout ce que l'on sait, c'est que : $0 \le P\left( {A \cup B} \right) \le 1$ , ce qui implique : $0 \le P\left( A \right) + P\left( B \right) \le 1$ .
D'où : $P\left( B \right) \le 1 - P\left( A \right)$ , ce qui donne : $P\left( B \right) \le 0,65$ .

• Rappel : il ne faut pas confondre événements incompatibles et événements contraires.

Exercice n°10

Cochez la bonne réponse.

Le nombre d'œufs d'une couvée chez les pingouins de Terre Adélie va de 0 à 9, avec la loi de probabilité suivante :

Issue	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Probabilité	0,02	0,12	0,15	0,25	0,17	0,11	0,10	0,05	0,02	0,01

La jeune Adélie attend un heureux événement. Quelle est la probabilité de faire une omelette ? (Pour faire une omelette, il faut au moins 2 œufs, sinon c'est un œuf brouillé.)

Cochez la bonne réponse.

0,14

0,86

0,98

On cherche P(A) où A est l'événement : « avoir au moins deux œufs ». Le plus simple est de regarder $\overline A$ : « avoir au plus un œuf ». $\overline A = \left\{ {{\rm{0, 1}}} \right\}$ , d'où $P\left( {\overline A } \right) = 0,02 + 0,12 = 0,14$ , soit $P\left( A \right) = 1 - 0,14 = 0,86$ .