Les fonctions trigonométriques

Fiche

Parmi l'ensemble des fonctions étudiées, les fonctions sinus et cosinus présentent des particularités spécifiques, notamment la périodicité. L'étude de ces fonctions sur la période (un intervalle) va permettre d'obtenir la représentation graphique de toute la fonction. On pourra revoir graphiquement les propriétés du sinus et du cosinus d'un angle étudiées en classe de Seconde et de Première.
1. Définition, dérivation
La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel cosx.
La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel sinx.
Propriétés : les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur l'ensemble des réels.
Pour tout réel x : cos'(x) = − sin(x) et cos'(ax + b) = − a sin(ax + b).
Pour tout réel x : sin'(x) = cos(x) et sin'(ax + b) = a cos(ax + b).
Exercice n°1Exercice n°2Exercice n°3
2. Fonctions sinus et cosinus sur l'intervalle [0 ; π]
La fonction cosinus
Fonction sinus et cosinus - illustration 1
La fonction sinus
Fonction sinus et cosinus - illustration 2
3. Parité, périodicité des courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus
Pour tout réel x, on a cos(−x) = cos x donc la fonction cosinus est paire.
Pour tout réel x, on a sin(−x) = −sin x donc la fonction sinus est impaire.
Pour tout réel x, on a cos(x+2\pi)=cosx et sin(x+2\pi)=sinx.
Donc les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2\pi.
Fonction sinus et cosinus - illustration 3
Exercice n°4Exercice n°5
4. Valeurs remarquables :
Angle α
 0
 \frac{\pi }{6}
 \frac{\pi }{4}
 \frac{\pi }{3}
 1
cos (α)
 1
 \frac{\sqrt{3}}{2}
 \frac{\sqrt{2}}{2}
 \frac{1}{2}
 0
sin (α)
 0
 \frac{1}{2}
 \frac{\sqrt{2}}{2}
 \frac{\sqrt{3}}{2}
 1

Démonstration : \textit{sin}\left ( \frac{\pi }{4} \right )= \frac{\sqrt{2}}{2}
On place le point M sur le cercle trigonométrique tel que M représente le réel \frac{\pi }{4}. Alors une mesure en radians de l'angle orienté \left (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM} \right ) est \frac{\pi }{4}. Soit A le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. OAM est donc rectangle iscocèle en A. On a d'après le théorème de Pythagore :
OM2 = OA2 + AM2
Or OA = AM et OM = 1 donc :
12 = 2 × OA2
Ainsi \textit{OA}=\frac{1}{\sqrt2}= \frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2\times \sqrt{2}}}= \frac{\sqrt{2}}{2}.
Fonction sinus et cosinus - illustration 4

Exercice n°6Exercice n°7
À retenir
  • cos'(ax + b) = −a sin(ax + b) et sin'(ax + b) = a cos(ax + b).
  • Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2\pi.
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