Trigonométrie

Fiche

Dans un triangle, les angles géométriques sont saillants. Leur mesure varie de 0 à 180°. Pour un cercle, les angles au centre rentrants peuvent mesurer jusqu'à 360°.
Les angles orientés ont des mesures réelles, éventuellement négatives ou supérieures à 360°. Au degré, on préfère alors le radian.
Le sinus et le cosinus d'un angle orienté se définissent à partir du cercle trigonométrique, centré sur l'origine d'un repère orthonormal, de rayon 1 et parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1. Quel est l'intérêt d'une mesure d'angle en radian ?

Définition : Le radian est la mesure d'un angle au centre qui découpe, sur le cercle, un arc dont la longueur est égale au rayon.

Conversion : Le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à 2π r. Donc 2π radians équivalent à 360°. Soit 1 radian = $\frac{360°}{2\pi}$ ou 1 radian $\approx$ 57,30°.
On retiendra : π radians = 180°, ou plus simplement π = 180°.
Mesure d'un arc : La mesure d'un arc est la mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc.
Longueur d'un arc : Un angle de α radians intercepte un arc de longueur l = r × α.
Une mesure en degrés nécessiterait le calcul préalable du périmètre du cercle et aboutirait à une formule plus compliquée : $l\,=\,2\pi{r}\,\times\,\frac{\alpha}{360}\,=\,\frac{\pi{r}\alpha}{180}$
Exercice n°1 Exercice n°2

2. Qu'est-ce qu'un angle orienté ?

Orientation du plan : Le plan est orienté dans le sens positif lorsque tous les cercles de ce plan sont parcourus dans le sens positif, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Cercle trigonométrique : Dans un repère orthonormé, c'est le cercle
- de rayon 1,
- centré sur l'origine,
- parcouru dans le sens positif.
Définition : Si A et M sont deux points d'un cercle trigonométrique de centre O, l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OM}$ est l'angle orienté ( $\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}$ ).
Un repère orthonormé (O ; I ; J) est direct lorsque $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OJ})\,=\,\frac{\pi}{2}$ .
Mesure d'un angle orienté : Si α est la mesure d'un angle orienté alors tout autre mesure de la forme $y\,=\,\alpha\,+\,2k\pi\,(k\,\in\,Z)$ convient. Plus directement on note $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\alpha[2\pi]$ (la mesure de l'angle ( $\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}$ ) est égale à α à 2π près).

Exercice n°3 Exercice n°4

3. Comment déterminer la mesure principale d'un angle orienté ?

Définition : Un angle orienté possède une infinité de mesures. En ajoutant ou en retranchant 2π à une mesure donnée on obtient une autre mesure possible.
La mesure principale α vérifie $-\pi\,<\,\alpha\,\le\,\pi$ .
Méthode : On décompose la mesure donnée pour faire apparaître une somme dont l'un des termes est multiple de 2π.
Exemple : Pour un angle mesurant $\frac{27\pi}{4}$ radians on écrit :
$\frac{27\pi}{4}\,=\,\frac{24\pi}{4}\,+\,\frac{3\pi}{4}\,=\,6\pi\,+\,\frac{3\pi}{4}\,=\,3\,\times\,2\pi\,+\,\frac{3\pi}{4}$ .
Comme $-\pi\,<\,\frac{3\pi}{4}\,\le\,\pi$ , c'est la mesure principale de l'angle de $\frac{27\pi}{4}$ radians.
Exercice n°5 Exercice n°6

4. Quelles sont les propriétés des angles orientés ?

Transformations d'écritures : Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls du plan alors :
$(-\vec{u}\,;\, \vec{u})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{u})\,=\,\pi$ [2π],
$(\vec{v}\,;\, \vec{u})\,=\,-(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ [2π],
$(-\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{v})$ [2π],
$(-\vec{u}\,;\, \vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\pi\,+\,(\vec{u}\,;\, \vec{v})$ [2π] ou $(-\vec{u}\,;\, \vec{v})\,=\,(\vec{u}\,;\, -\vec{v})\,=\,-\pi\,+\,(\vec{u}\,;\, \vec{v})$ [2π].

Relation de Chasles : Si $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs non nuls du plan alors : $(\vec{u}\,;\, \vec{v})\,+\,(\vec{v}\,;\, \vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\, \vec{w})$ [2π].

Exercice n°7 Exercice n°8

5. Qu'est-ce qu'un repérage polaire ?

Définition : dans un repère du plan, défini par un point origine et deux vecteurs non nuls et non colinéaires, tout point M est repéré par deux coordonnées cartésiennes, son abscisse et son ordonnée.
On peut aussi repérer le point M à l'aide d'une origine O et d'une demi-droite [Ox) de repère unitaire $\overrightarrow{OI}$ , le plan étant orienté dans le sens positif. Le premier paramètre est la longueur OM (le rayon) et le second la mesure principale α de l'angle orienté $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ (l'azimut).
Soit M(OM ; α ).

Exercice n°9 Exercice n°10

6. Comment déterminer le cosinus et le sinus d'un angle orienté ?

(O ; I ; J) est un repère orthonormé du plan.

M est un point du cercle trigonométrique et $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,\alpha$ .
Pour $0\,\le\,\alpha\,\le\,\frac{\pi}{2}$ , on a : $\cos\,\alpha\,=\,\frac{OH}{OM}\,=\,\frac{OH}{1}\,=\,OH$ et $\sin\,\alpha\,=\,OK\,=\,\frac{HM}{OM}\,=\,\frac{HM}{1}\,=\,HM\,=\,OK$ .
Plus généralement le point M pour coordonnées $M(\cos\,\alpha\,;\,\sin\,\alpha)$ .
Le cosinus de l'angle $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ est l'abscisse du point M. Le sinus est son ordonnée.
Exercice n°11 Exercice n°12

7. Quels sont les cosinus et sinus des angles associés ?

Soit M un point du cercle trigonométrique de repère orthonormé direct (O ; I ; J).
On pose $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})\,=\,x$ .

Angles opposés : soit M₁ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{1})\,=\,-x$ .
Les points M et M₁ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Donc : $\cos(-x)\,=\,\cos{x}$ et $\sin(-x)\,=\,-\sin\,x$ .
Angles supplémentaires : soit M₂ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{2'})\,=\,\pi\,-x$ .
Les points M et M₂ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Donc : $\cos(\pi\,-x)\,=\,-\,\cos{x}$ et $\sin(\pi\,-x)\,=\,\sin\,x$ .
Angles complémentaires : soit M₃ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{3})\,=\,\frac{\pi}{2}\,-x$ .
Les points M et M₃ sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OJ})$ . Donc : $\cos\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,\sin\,x$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2}\,-\,x\right)\,=\,\cos\,x$ .
Angles ayant un écart de $\frac{\pi}{2}$ : soit M₄ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{4})\,=\,\frac{\pi}{2}\,+\,x$ . Le point M₄ est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . Donc : $\cos\left(\frac{\pi}{2}\,+\,x\right)\,= -\,\sin\,x$ (attention au signe « − ») et $\sin\left(\frac{\pi}{2}\,+\,x\right)\,=\,\cos\,x$ .
Angles ayant un écart de π : soit M₅ le point du cercle trigonométrique tel que $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}_{5})\,=\,\pi\,+\,x$ . Les points M et M₅ sont symétriques par rapport à O. Donc : $\cos(\pi\,+\,x)\,=\,-\cos\,x$ et $\sin(\pi\,+\,x)\,=\,-\sin{x}$ .

Exercice n°13 Exercice n°14

8. Quelles sont les solutions des équations trigonométriques $\cos\,\,x\,=\,a$ ou x = b ?

Égalité de deux cosinus : soient deux points M et M' du cercle trigonométrique d'un repère orthonormé (O ; I ; J) du plan. Les cosinus des angles $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM'})$ sont égaux si et seulement si les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Donc $\cos\,\alpha'\,=\,\cos\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2\,k\,\pi$ ou $\alpha'\,=\,-\,\alpha\,+\,2\,k\,\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ).

Deux angles orientés ont le même cosinus si et seulement si leurs mesures principales sont égales ou opposées.
Égalité de deux sinus : Les sinus des angles $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM}')$ sont égaux si et seulement si les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Donc $\sin\,\alpha'\,=\,\sin\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi$ ou $\alpha'\,=\,\pi\,-\,\alpha\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ).

Deux angles orientés ont le même sinus si et seulement si leurs mesures principales sont égales ou supplémentaires.

Exercice n°15 Exercice n°16

À retenir

Formule de conversion : π radians = 180°
Longueur de l'arc de cercle intercepté par un angle au centre de α radians sur un cercle de rayon r : l = r × α.
Cercle trigonométrique : Dans un repère orthonormé, c'est le cercle de rayon 1, centré sur l'origine et parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Notation d'un angle orienté : $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})\equiv\,\alpha\,[2\pi]$ (La mesure de l'angle $(\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM})$ est égale à α à 2π près).

Mesure principale α d'un angle orienté : $-\pi\,<\,\alpha\,\le\,\pi$ .
Repérage d'un point M en coordonnées polaires, dans un repère composé d'une origine O et d'une demi-droite [Ox) de repère unitaire $(\overrightarrow{OI})$ :
M(OM ; α), avec α mesure principale de l'angle orienté $(\overrightarrow{OI}\,;\,\overrightarrow{OM})$ .

Relation de Chasles : $(\vec{u}\,;\,\vec{v})\,+\,(\vec{v}\,;\,\vec{w})\,=\,(\vec{u}\,;\,\vec{w})$ [2π].
Formules des angles associés :
$\cos(-x)\,=\,\cos\,x$ et $\sin(-x)\,=\,-\,\sin\,x$ ;
$\cos(\pi\,-\,x)\,=\,-\,\cos\,x$ et $\sin(\pi\,-\,x)\,=\,\sin\,x$ ;
$\cos(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\sin\,x$ et $\sin(\frac{\pi}{2}\,-\,x)\,=\,\cos\,x$ ;
$\cos(\frac{\pi}{2}\,+\,x)\,=\,-\,\sin\,x$ et $\sin(\frac{\pi}{2}\,+\,x)\,=\,\cos\,x$ ;
$\cos(\pi +\,x)\,=\,-\,\cos\,x$ et $\sin(\pi+\,x)\,=\,-\sin\,x$ ;
Équations trigonométriques :
$\cos\,\alpha'\,=\,\cos\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi$ ou $\alpha'\,=\,-\alpha\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ) ;
$\sin\,\alpha'\,=\,\sin\,\alpha$ équivaut à $\alpha'\,=\,\alpha\,+\,2k\pi$ ou $\alpha'\,=\,\pi\,-\alpha\,+\,2k\pi$ ( $k\,\in\,Z$ ) .