Nombre dérivé et fonction dérivée

Fiche

Le concept de dérivée n'a été dégagé qu'il y a environ trois siècles. Il est lié, en mathématiques, à la notion de tangente à une courbe, et en sciences physiques, à celle de vitesse instantanée d'un mobile. Les calculs de dérivées ont de nombreuses applications : ils permettent de déterminer les variations d'une fonction, de résoudre des problèmes d'optimisation, de calculer certaines limites, etc.

1. Comment définir le nombre dérivé d'une fonction en un réel ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I ouvert et a un réel appartenant à I.
On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté $f'\left( a \right)$ :
$f'\left( a \right) =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to a}$ $\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} =$ $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}$ $\frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h}$ .
Exercice n°1

2. Que représente le nombre dérivé d'une fonction en un réel ?

Lorsqu'une fonction f est dérivable en un réel a d'un intervalle ouvert I, le nombre dérivé de f en a, $f'\left( a \right)$ , est le coefficient directeur de la tangente à C, la courbe représentative de f, au point d'abscisse a de C.

Exercice n°2 Exercice n°3

3. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction, en un point ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, dérivable en un réel a de I. On note T la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
Par définition, T est une droite de coefficient directeur $f'\left( a \right)$ . De plus, T passe par le point ${\rm{A}}\left( {a \, ; \: f\left( a \right)} \right)$ .
En traduisant ces deux conditions, on obtient l'équation de T : $y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)$ .
Exercice n°4

4. Existe-t-il des fonctions non dérivables en a ?

Exemple 1 :
Étudions la dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.
On considère la fonction f définie sur Ensemble R

⁺ par $\mathrm{f}(\mathrm{x})= \sqrt{\mathit{x}}$ .
Pour cela, on étudie la limite du taux d'accroissement de f entre 0 et 0 + h :
$\lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{f(\mathit{x}_{0}+\mathrm{h})-f(\mathit{x}_{0})}{\mathrm{h}}= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\sqrt{0+\mathrm{h}}-\sqrt{0}}{\mathrm{h}}$
$= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\sqrt{\mathrm{h}}}{\mathrm{h}}$
$= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{h}}}$
$= +\infty$
La limite n'est pas un nombre réel fini. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en 0. Cependant, la courbe admet, au point d'abscisse 0, une demi-tangente verticale.
Exemple 2 :
Étudions la dérivabilité de la fonction valeur absolue en 0.
On considère la fonction f définie sur Ensemble R

par f(x) = | x |.
$\lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\left | 0+\mathrm{h} \right | -\left | 0 \right | }{\left | \mathrm{h} \right | }= \lim_{\mathrm{h} \to 0}\frac{\left | \mathrm{h} \right | }{\mathrm{h}}$
Or, la quantité $\frac{\left | \mathrm{h} \right | }{\mathrm{h}}$ n'a pas de limite en 0. En effet :
$\lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} > 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= \lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} > 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= 1$ et $\lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} < 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= \lim_{\begin{matrix}\mathrm{h} \to 0\\\mathrm{h} < 0\end{matrix}}\frac{\left | h \right | }{h}= -1$
(Les limites à gauche et à droite sont différentes…)
Le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0 + h n'a pas de limite en 0. Par conséquent la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
Cependant, elle est dérivable "à droite" de 0 et "à gauche" de 0.
La courbe admet donc deux demi-tangentes distinctes de coefficients directeurs respectifs 1 et −1
Exercice n°5

5. Qu'est-ce que la fonction dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle ?

• Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.
On dit que f est dérivable sur I lorsque f est dérivable en tout réel x de I.

• Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
La fonction qui, à tout réel x de I, associe le nombre dérivé $f'\left( x \right)$ est appelée la fonction dérivée de f sur I. Elle est notée f'.
Exercice n°6 Exercice n°7

À retenir

• Une fonction f, définie sur un intervalle ouvert contenant un réel a, est dérivable en a si $\frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}$ admet une limite finie lorsque x tend vers a. Ce réel est alors noté $f'\left( a \right)$ et appelé le « nombre dérivé de f en a ».

• Dans ce cas, $f'\left( a \right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. Cette tangente a alors pour équation $y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)$ .

• Si une fonction f est définie et dérivable en tout réel x d'un intervalle ouvert I, alors la fonction qui, à tout $x \in I$ , associe $f'\left( x \right)$ est la fonction dérivée de f sur I, elle est notée f'.