Fonctions polynomiales du second degré

Fiche

Les fonctions trinômes du second degré ont pour représentation graphique une parabole. Leur étude permet de connaître leur sens de variation, leur maximum ou minimum et la position de leur courbe par rapport à l'axe des abscisses. Ces propriétés se retrouvent algébriquement grâce à la résolution d'équations et d'inéquations du second degré que l'on met au point de manière systématique en classe de première.
1. Qu'est-ce qu'une fonction trinôme du second degré ?
• C'est une fonction f définie sur Ensemble R par :
f\left( {x} \right) = ax^2 + bx + c, où a, b et c sont trois réels et a \ne 0.
• Lorsque f est mise sous la forme f\left( {x} \right) = a\left( {x - \alpha } \right)^2 + \beta où \alpha et \beta sont des réels dépendants de a, b et c, on dit que f est sous une forme canonique.
Exercice n°1
2. Quel est le sens de variation d'une fonction trinôme du second degré ?
• La forme canonique de f:x \mapsto ax^2 + bx + c, où a \ne 0, permet de montrer les résultats suivants :
si a > 0
Fonctions polynomiales du second degré - illustration 1
si a < 0
Fonctions polynomiales du second degré - illustration 2
• La courbe de f dans un repère du plan est une parabole ayant pour axe de symétrie la droite d'équation x = - \frac{b}{{2a}} et pour sommetle point {\rm{S}}\left( { - \frac{b}{{2a}} \, ; \: f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right).
3. Comment résout-on une équation du second degré du type ax2 + bx + c = 0, où a est non nul ?
• Si c = 0, on factorise ax^2 + bx par x et on est ramené à un produit de facteurs nuls.
Si b = 0, l'équation ax^2 + c = 0 se ramène à l'équation x^2 = \frac{{ - c}}{a} qui se résout facilement selon les signes de c et a.
Si ax^2 + bx + c est une identité remarquable évidente, on factorise le trinôme et on est ramené à un produit de facteurs nuls.
• Dans les autres cas, la forme canonique de f:x \mapsto ax^2 + bx + c, où a \ne 0, permet de montrer qu'en calculant le discriminant \Delta = b^2 - 4ac du trinôme ax^2 + bx + c, on a :
– si Δ< 0, ax^2 + bx + c = 0 n'a pas de solution dans Ensemble R ;
– si Δ= 0, ax^2 + bx + c = 0 a pour unique solution x_0 = - \frac{b}{{2a}} ;
– si Δ> 0, ax^2 + bx + c = 0 a deux solutions distinctes :
x_1 = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} et x_2 = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.
Exercice n°2
• Démonstration :
On a\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}= \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-{\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}}
– Si Δ < 0 alors -{\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}}> 0 et ainsi \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-{\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}}> 0 donc ax2 + bx + c > 0 donc l'équation ax2 + bx + c = 0 n'admet aucune solution réelle.
– Si Δ = 0 alors \mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}= \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}. Ainsi l'équation ax2 + bx + c = 0 est équivalente à l'équation \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}= 0
\Leftrightarrow \mathrm{a}= 0\mathrm{\mathrm{OU}}\left (\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}= 0 (or a\neq 0)
\Leftrightarrow \left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )\left (\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )= 0
\Leftrightarrow \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}= 0\mathrm{OU}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}= 0
\Leftrightarrow \mathrm{x}= -\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}
L'équation de départ ax2 + bx + c = 0 admet donc une seule solution -\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}.
– Si Δ > 0, alors \frac{\Delta }{4\mathrm{a}}> 0.
On a ax2 + bx + c = 0
\Leftrightarrow \mathrm{a}\left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4\mathrm{a}}= 0
\Leftrightarrow \mathrm{a}\left [ \left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4\mathrm{a}^{2}} \right ]= 0
\Leftrightarrow \mathrm{a}= 0 ou \left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\frac{\Delta }{4\mathrm{a}^{2}}= 0. Or \mathrm{a}\neq 0.
\Leftrightarrow \left ( \mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}} \right )^{2}-\left ( \frac{\sqrt{\Delta }}{2\mathrm{a}} \right )^{2}= 0
…
\mathrm{S}= \left \{ \frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\Delta }}{2\mathrm{a}};\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\mathrm{a}} \right \}
4. Quel algorithme pour résoudre une équation du second degré ?
Algorithme
Variables a, b, c , D, x, y : nombres réels
Début
Lire a, b, c
D \leftarrow b2 − 4ac
Écrire D
Si D < 0 Alors
Écrire « Pas de solution »
Sinon
x\,\leftarrow\,(-b\,-\,\sqrt{D})/(2a)
Écrire x
y \leftarrow (-b\,+\,\sqrt{D})/(2a)
Écrire y
Fin Si
Fin
Sur TI 82
Sur Graph 25
Input A
? → A
Input B
? → B
Input C
? → C
B2 − 4*A*C Sto D
B2 − 4*A*C → D \blacklozenge
Disp D
If D < 0
If D < 0
Then “PAS DE SOLUTION“
Then
Else (−B +\sqrt{D} )/(2A) \rightarrow X \blacklozenge
Disp “PAS DE SOLUTION”
(−B +\sqrt{D})/(2A) → Y \blacklozenge
Else (-B\,+\,\sqrt{D})/(2A) \rightarrow X
Ifend
Disp X

(-B\,+\,\sqrt{D})/(2A) \rightarrow Y

Disp Y

End


Fonctions polynomiales du second degré - illustration 3
5. Comment détermine-t-on le signe d'un trinôme du second degré du type ax2 + bx + c, où a est non nul ?
• Si l'équation ax^2 + bx + c = 0 n'a pas de solution dans Ensemble R (Δ< 0), alors ax^2 + bx + c ne se factorise pas et est du signe de a pour tout réel x.
• Si l'équation ax^2 + bx + c = 0 a une unique solution x_0 \left( {\Delta = 0} \right), alors ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_0 } \right)^2 et est du signe de a pour tout x \in Ensemble R- \left\{ {x_0 } \right\} et nul en x0.
• Si l'équation ax^2 + bx + c = 0 a deux solutions distinctes x1 et x2 \left( {\Delta > 0} \right), alors ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_1 } \right)\left( {x - x_2 } \right), et un tableau de signes donne le résultat suivant :
Fonctions polynomiales du second degré - illustration 4
Remarque
On résout ainsi tout type d'inéquation du second degré.
Exercice n°4Exercice n°5Exercice n°6
6. Quel est le lien entre les solutions d'une équation ou inéquation du second degré et l'allure de la parabole associée ?
• Soit f la fonction définie sur Ensemble Rpar f\left( x \right) = ax^2 + bx + c où a \ne 0 et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
Résoudre l'équation ax^2 + bx + c = 0 revient à lire graphiquement les abscisses des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses.
• Le signe de ax^2 + bx + c est lié à la position de Cf par rapport à l'axe des abscisses.
Voici les différents cas possibles :
a < 0 et Δ< 0
 a < 0 et Δ= 0
 a < 0 et Δ> 0
Fonctions polynomiales du second degré - illustration 5
 Fonctions polynomiales du second degré - illustration 5
 Fonctions polynomiales du second degré - illustration 5
a > 0 et Δ< 0
 a > 0 et Δ= 0
 a > 0 et Δ> 0
Fonctions polynomiales du second degré - illustration 5
 Fonctions polynomiales du second degré - illustration 5
 Fonctions polynomiales du second degré - illustration 5


Exercice n°7Exercice n°8
À retenir
• Toute fonction trinôme du second degré du type x \mapsto ax^2 + bx + c, où a \ne 0, a pour représentation graphique une parabole de sommet {\rm{S}}\left( { - \frac{b}{{2a}} \, ; \: f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)} \right), d'axe de symétrie la droite d'équation x = - \frac{b}{{2a}}, dont les branches sont « orientées vers le haut » si a > 0 et « orientées vers le bas » si a < 0.
• Le signe du discriminant \Delta = b^2 - 4ac du trinôme ax^2 + bx + c, où a \ne 0, donne le nombre de solutions à l'équation ax^2 + bx + c = 0 et permet de savoir si le trinôme est factorisable ou non :
– si Δ> 0, ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_1 } \right)\left( {x - x_2 } \right), où x_1 = \frac{{ - b - \sqrt {\Delta}}}{{2a}} et x_2 = \frac{{ - b + \sqrt {\Delta}}}{{2a}} ;
– si Δ= 0, ax^2 + bx + c = a\left( {x - x_0 } \right)^2 où x_0 = - \frac{b}{{2a}} ;
– si Δ< 0, ax^2 + bx + c ne se factorise pas, et est du signe de a sur Ensemble R.
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